6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

第2课时　向量数量积的运算律 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 知识点　向量数量积的运算律 1．平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c (1)向量的数量积不满足消去律，即a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 2．平面向量数量积的几个常用结论 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋ c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a [例1] (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 ACD　解析：根据向量数量积的分配律知A项正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B项错误；∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C项正确；D项正确．故选ACD. 向量数量积运算律的关注点 向量a，b的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有相同之处，同时也有不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0. [练1] 给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________．(填序号) 答案：②　解析：由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确． 综合应用一：利用数量积求向量模的问题 [例2] (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 B　解析：因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b， 又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4， 从而|b|＝.故选B. 一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． [练2] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________． 答案：3　解析：由题意知e1·e2＝|e1||e2|cos α＝1×1×＝，则|a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，所以|a|＝3. [练3] 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：由已知，|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9. 代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3. 又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝. 综合应用二：求解向量垂直与夹角问题 [例3] (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________． (2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角θ的值． 答案：(1)(0，1)∪(1，＋∞)　解析：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞). (2)解：由已知条件得 即 ②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2. 代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. [变式探究] 　将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． 解：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0， ∴k＜0. 当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1. 求向量夹角的方法 (1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解． (2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解． (3)借助向量数量积运算的几何意义，数形结合求夹角． 注意：要注意夹角θ的范围为[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈[0，)；当cos θ＜0时，θ∈(，π]；当cos θ＝0时，θ＝. [练4] 若a，b均为单位向量，且满足a⊥(a＋2b)，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． C　解析：设a与b的夹角为θ，由a⊥(a＋2b)，得a2＋2a·b＝0，又a，b均为单位向量，∴a·b＝－，∴cos θ＝＝－，而θ∈[0，π]，∴θ＝，即C正确． 1．知识清单 (1)向量数量积的运算律． (2)利用数量积求向量的模和夹角． (3)向量垂直的应用． 2．方法归纳：类比法． 3．常见误区：已知两个非零向量数量积大于0或小于0时易忽视两向量共线的情形． ◎随堂演练 1．已知向量a，b满足|a|＝2，a·b＝－2，则(a－b)·a＝(　　) A．－2 B．0 C．4 D．6 D　解析：(a－b)·a＝a2－b·a＝4＋2＝6.故选D. 2．已知|a|＝2，|b|＝3，且a⊥b，则|b－a|＝(　　) A．1 B． C． D．5 C　解析：因为(b－a)2＝|b|2＋|a|2－2b·a＝13， 结合已知向量垂直知|b－a|＝.故选C. 3．已知|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－，若a与b夹角为θ，则cos θ＝(　　) A.－ B．－ C． D． A　解析：因为|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－，所以cos θ＝＝＝－.故选A. 4．(2024·崇左高一期中)若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，且(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________． 答案：　解析：因为(3a＋5b)⊥(ma－b)，所以(3a＋5b)·(ma－b)＝0， 即3m|a|2＋(5m－3)a·b－5|b|2＝0，即3m＋1×2×(5m－3)－5×22＝0， 即3m＋5m－3－20＝0，解得m＝. [课时梯级训练(6)见P160] 学科网（北京）股份有限公司 $$