6.2.4 第1课时 向量的数量积（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6．2．4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积 学习目标 1．通过物理中的功，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量． 知识点一　向量的夹角 条件 两个非零向量a和b 产生过程 作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角 范围 [0，π] 特殊情况 θ＝0 a与b同向 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b θ＝π a与b反向 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． [练1] 在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是(　　) A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 答案：B [练2] 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C　解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°． 知识点二　向量的数量积 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，据此回答下列问题： 1．如何计算这个力所做的功？ 2．力F在位移s方向上的分力大小是多少？ 3．力和位移均可看作是数学中的向量，那么可否把“功”看作是向量间的新运算呢？ 1．向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a，b同向时，a·b＝|a||b|；当a，b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b|≤|a||b|． (1)向量的数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0． (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝是求向量的长度的工具． (5)区分0·a＝0与0·a＝0． (6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件；a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件． [例1] 若正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________． 答案：－3　解析：∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3． 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则要通过平移使两向量符合以上条件． [练3] 已知向量a与b的夹角为θ，|a|＝5，|b|＝4，分别求在下列条件下的a·b． (1)θ＝120°；(2)a∥b；(3)a⊥b． 解：(1)因为|a|＝5，|b|＝4，θ＝120°， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×(－)＝－10． (2)因为a∥b，所以θ＝0°或180°． 当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝5×4×1＝20； 当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝5×4×(－1)＝－20． 所以a·b的值为20或－20． (3)因为a⊥b，所以θ＝90°，所以a·b＝|a|·|b|cos 90°＝5×4×0＝0． [练4] 设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________． 答案：　解析：设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝． ∵θ∈[0，π]，∴θ＝． 知识点三　投影向量 1．投影向量的定义 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．投影向量的公式 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe． 关于投影向量的注意点 (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性． (3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果． [例2] 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量． 解：∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴a在b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×(－)b＝－b． [变式探究] 　本例改为求b在a上的投影向量． 解：∵|a|＝3，∴＝a， ∴b在a上的投影向量为|b|cos 120° ＝1×(－)×a＝－a． 投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． (2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ． [练5] 设非零向量a和b，它们的夹角为θ，a和b的同方向上的单位向量分别为e1，e2． (1)若|a|＝5，θ＝150°，求a在b方向上的投影向量； (2)若a·b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影向量． 解：(1)∵|a|cos θe2＝5×cos 150°e2＝5×(－)e2＝－e2， ∴a在b方向上的投影向量为－e2． (2)∵|b|cos θ＝＝＝，∴b在a方向上的投影向量为|b|cos θe1＝e1． 1．知识清单 (1)向量的夹角． (2)向量数量积的定义． (3)向量数量积的性质． (4)投影向量． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区 (1)忽略向量夹角共起点的要求． (2)a·b>0⇒/ 两向量夹角为锐角，a·b<0⇒/ 两向量夹角为钝角． ◎随堂演练 1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　) A． B． C．1＋ D．2 A　解析：a·b＝|a||b|cos 60°＝． 2．已知|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° B　解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－．又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°． 3．已知|a|＝7，则a·a＝________． 答案：49　解析：a·a＝|a|2＝72＝49． 4．已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e上的投影向量是________． 答案：－2e　解析：a在e上的投影向量是|a|cos e＝4×(－)·e＝－2e． [课时梯级训练(5)见P159] 学科网（北京）股份有限公司 $$