6.2.3 向量的数乘运算（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6．2．3　向量的数乘运算 学习目标 1．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其运算律，理解其几何意义． 2．了解平面向量的线性运算的性质及其几何意义． 3．理解向量共线定理的含义． 知识点一　向量的数乘运算 1．若x为实数，则x＋x＋x＝3x．a＋a＋a能否写成3a呢？ 2．3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？ 3．按照向量加法的三角形法则，若a为非零向量，那么3a的长度与a的长度有何关系？ 1．向量的数乘运算 定义 一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ＞0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0 λ＜0 λa的方向与a的方向相反 (1)向量数乘运算的结果仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． [例1] (1)若a＝2b＋c，则3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(　　) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． (1)C　(2)4b－3a　解析：(1)原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c． (2)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a． 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数中多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． [练1] 已知a与b，且5x＋2y＝a，3x－y＝b，求x，y． 解：联立方程组 解得 [例2] 如图，D，E分别是△ABC中AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点．已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，． 解：由三角形中位线定理，知DE∥BC，且DE＝BC，故＝，即＝a． ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b． ＝＋＋＝＋＋ ＝－a－b＋a＝a－b． 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量与已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 注意：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系． [练2]如图，在▱ABCD中，E是BC的中点．若＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a＋b C．a＋b D．a－b D　解析：因为E是BC的中点，所以＝＋＝＋(－)＝－＝a－b． 知识点二　向量共线定理 1．如果两个向量共线，则这两个向量有哪几种情况？ 2．根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？ 3．向量a与λa(λ为常数)一定共线吗？ 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． (1)向量共线定理中规定向量a≠0，因为如果a＝0：①当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数；②当b≠0时，b＝λ0，λ不存在． (2)当向量a，b同向时，λ>0，当向量a，b反向时，λ<0． [例3] 已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)要使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． (1)证明：∵＝e1＋e2，∴＝＋ ＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5． ∴，共线，且AB与BD有公共点B． ∴A，B，D三点共线． (2)解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，且两向量均为非零向量， ∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2． ∵e1与e2不共线，只能有∴k＝±1． [变式探究] 　若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y．求证：x＋y＝1． 证明：∵A，B，C三点共线， ∴∃λ∈R，使得＝λ，即－＝λ(－)， ∴＝(1＋λ)－λ，∴x＝1＋λ，y＝－λ， ∴x＋y＝1． 1．证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用探究中的结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1． 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． [练3] 已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 B　解析：＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线． [练4] (2024·南通高一期中)已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2．若a∥b，则k＝(　　) A．－2 B．－ C．2 D． A　解析：由题设a＝λb且λ∈R，故2e1－e2＝λke1＋λe2，则，得k＝－2． 1．知识清单 (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． (3)三点共线的常用结论． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：运用共线向量的充要条件时易忽视条件而致错． ◎随堂演练 1．下列运算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0． A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误．所以运算正确的个数为2．故选C． 2．(2024·昆明高一期末)在△ABC中，＝，则＝(　　) A．－ B．＋ C．2＋2 D．2－ B　解析：由＝可得D为BC边的中点，如图所示： ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．故选B． 3．已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 C　解析：∵a＝4b，4＞0，∴|a|＝4|b|，A项、B项错误；∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同，C项正确，D项错误． 4．已知向量a＝2e，b＝－6e，判断向量a，b是否共线． 解：当e＝0时，a＝b＝0，所以a，b共线； 当e≠0时，由于b＝－3a，即存在实数λ＝－3，使得b＝λa．从而b与a共线． 综上可知，向量a，b共线． [课时梯级训练(4)见P157] 学科网（北京）股份有限公司 $$