6.2.2 向量的减法运算（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6．2．2　向量的减法运算 学习目标 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义． 2．掌握向量减法的几何意义． 3．能熟练地进行向量的加、减综合运算． 知识点一　相反向量 1．实数a的相反数是－a，－a的相反数是a，0的相反数是0．若把实数a换成向量a，结论还成立吗？ 2．我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 －(－a)＝a 零向量的相反向量仍是零向量 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0 (1)说明相反向量仍从方向与长度两个方面进行． (2)相反向量可以为向量的“移项”提供依据．利用(－a)＋a＝0在向量等式的两端同时加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．例如，由a＋b＝c＋d可得a－c＝d－b． [练1] (多选)若非零向量m与n是相反向量，则(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 BCD　解析：互为相反向量的两个向量的大小相等，方向相反，故A项错误，其他选项正确． [练2] (多选)下列命题正确的是(　　) A．相反向量就是方向相反的向量 B．向量与是相反向量 C．若a＋b＝0，则a，b互为相反向量 D．相反向量是共线向量 BCD　解析：根据相反向量的概念可知，A项错误，其他选项均正确． 知识点二　向量的减法运算 由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，你能利用平行四边形法则作出差向量a－b吗？ 向量的减法运算 定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．求两个向量差的运算叫做向量的减法 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝ 图形 几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，那么a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法． (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)向量减法满足三角形法则．在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． [例1] 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b－c． 解：方法一　如图1，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b．再作＝c，则＝a＋b－c． 方法二　如图2，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b．再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c． 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)通过转化为相反向量的加法进行计算，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． [练3] 如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c．作向量b＋c－a． 解：方法一　如图1，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c， ＝－＝b＋c－a． 　 方法二　如图2，作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a． [例2] 化简(－)－(－)． 解：方法一　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0． 方法二　(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0． 方法三　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0． 向量减法运算的常用方法 [练4] 化简下列各式： (1)－＋－； (2)(＋＋)－(－－)． 解：(1)－＋－＝＋－＝－＝． (2)(＋＋)－(－－) ＝(＋)－(－)＝－＝0． 综合应用：用已知向量表示其他向量 [例3] 已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值． 解：如图所示，设＝a，＝b，则＝a－b． 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b． 由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2． 所以△OAB是以∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB为矩形． 根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4． 向量加减运算的常用结论 (1)|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个零向量或a，b是方向相反的非零向量时等号成立． (2)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形． [练5] 设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 C　解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB， 则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－． 因为|＋|＝|－|，所以||＝||． 又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB． 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2． 1．知识清单 (1)向量的减法运算． (2)向量减法的几何意义． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：忽略向量共起点时才可进行向量的减法运算． ◎随堂演练 1．化简－＋所得的结果是(　　) A． B． C．0 D． C　解析：－＋＝＋＝0．故选C． 2．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c A　解析：＝＋＋＝－＋＝a－b＋c． 3．在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 A　解析：由－＝－，可得＝，所以||＝||且AB∥DC，所以四边形ABCD一定是平行四边形． 4．下列四个等式： ①－(－a)＝a；②＋＋＝0；③a＋(－a)＝0． 其中正确的是________．(填序号) 答案：①②③　解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①③是正确的，②符合向量的加法法则，也是正确的． [课时梯级训练(3)见P155] 学科网（北京）股份有限公司 $$