6.2.1 向量的加法运算（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6．2　平面向量的运算 6．2．1　向量的加法运算 学习目标 1．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算． 2．理解向量加法的几何意义． 知识点一　向量的加法运算 1．某人从A地经B地到达C地的两次位移，与A地直接到C地的位移关系如何？ 2．两个力F1，F2作用于同一个物体上，当物体静止时，说明了什么？ 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 法则 三角形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB 结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和 图形 规定 零向量与任意向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a 1．对向量加法的三角形法则的两点说明 (1)适用范围：非零向量． (2)注意事项：①两个向量一定首尾相连；②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点；③当多个向量相加时，可以使用三角形法则． 2．对向量加法的平行四边形法则的两点说明 (1)适用范围：任意两个不共线向量． (2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点；②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为共起点两向量的和向量． (3)方法与步骤：第一步，先把两个已知向量a与b的起点平移到同一点；第二步，以这两个已知向量为邻边作平行四边形． [例1] 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c． 解：方法一　可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c．如图1， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求的和向量． 方法二　三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图2， (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b； (2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b； (3)再作向量＝c； (4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c． 向量即为所求的和向量． 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单． [练1] 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． C　解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝．由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝． 知识点二　向量的三角不等式与加法的运算律 1．请探索|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？ 2．实数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 1．一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立． 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立． (2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)，a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)． [例2] (1)已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________． (2)化简： ①＋＋＋； ②＋＋． 答案：(1)13　解析：因为|a＋b|≤|a|＋|b|＝8＋5＝13，所以|a＋b|的最大值为13． (2)解：①＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝． ②＋＋＝(＋)＋＝． 向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． [练2] 下列各式不一定成立的是(　　) A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| D　解析：A项成立，为向量加法的交换律；B项成立；C项成立，即向量加法的三角形法则；D项不一定成立，只有当a，b同向或有一个为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|． [练3] (多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝ C．＋＋＝ D．＋＋＝0 AD　解析：由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，故A项正确； ＋＋＝＋＝≠，故B项不正确； ＋＋＝＋＝，故C项不正确； ＋＋＝＋＋＝＋＝0，故D项正确．故选AD． 综合应用：向量加法的实际应用 [例3] 一架执行任务的飞机从A地朝北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行．已知C地在A地东偏北30°方向，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离． 解：如图， 因为＝＋，∠BAC＝90°，||＝||＝300 km，所以△ABC为等腰直角三角形，||＝300 km． 又因为∠ABC＝45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向． 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B，C间的距离为300 km． 利用向量的加法解决实际应用问题的三个步骤 [练4] 在某地抗震救灾时，一架飞机从A地朝北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地朝南偏东55°的方向飞行800 km送往C地的医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 解：设，分别表示飞机从A地朝北偏东35°的方向飞行800 km，从B地朝南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和是＋＝．如图． 依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)． 易知∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以||＝＝＝800(km)． 综上所述，飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km． 1．知识清单 (1)向量加法的三角形法则． (2)向量加法的平行四边形法则． (3)向量三角不等式． (4)向量加法的运算律． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． ◎随堂演练 1．＋＋等于(　　) A． B． C． D． C　解析：＋＋＝＋＋＝． 2．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 A　解析：向量加法满足交换律和结合律，所以五个向量均等于a＋b＋c．故选A． 3．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________ km，a＋b的方向是________． 答案：8　东北方向　解析：如图，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝．所以|a＋b|＝||＝＝8(km)．因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向． [课时梯级训练(2)见P154] 学科网（北京）股份有限公司 $$