6.1 平面向量的概念（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6．1　平面向量的概念 [对应学生用书P1] 学习目标 1．通过对力、位移、速度等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，掌握向量与数量的区别． 2．理解平面向量的意义和相等向量的含义． 3．理解平面向量的几何表示和基本要素，理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念． 知识点一　平面向量的实际背景与概念 (1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班，每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移． (2)汽车向东北方向行驶了60 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是东北． (3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的拉力作用． 1．上述三个实例涉及哪些物理量？ 2．这些量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别？ 向量与数量 　(1)向量：把既有大小又有方向的量叫做向量，如力、位移、速度等． (2)数量：把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等． (1)数量只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小． (2)向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． [练1] 下列物理量：①质量；②速度；③加速度；④路程；⑤功．其中不是向量的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：质量、路程、功只有大小没有方向，不是向量，而速度、加速度均是既有大小又有方向的物理量．故选C． [练2] 海拔是指地面某个地点与海平面的垂直距离，海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？ 解：海拔不是向量，它只有大小没有方向．海拔的正负，零上温度和零下温度，都只是与相对规定的标准来说的，不是指方向．因而温度也是只有大小没有方向，不是向量． 知识点二　向量的几何表示 1．有向线段 (1)定义：具有方向的线段叫做有向线段． (2)表示方法及长度：以A为起点、B为终点的有向线段记作(如图)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||． (3)有向线段的三要素：起点、方向、长度． 2．向量的表示方法 几何 表示 用有向线段表示向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量；书写时，可写成带箭头的小写字母，，，… 3．向量的相关概念 向量 的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 单位 向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 (1)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素．每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段． (2)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0．零向量的方向是任意的，在分析向量的位置关系时要特别注意零向量． (3)单位向量是长度等于1个单位长度的向量，其方向是任意的． [例1] 某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 解：根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求方向，作线段AB＝4，BC＝6，CD＝4，则向量，和如图所示． 作向量的方法 准确画出向量的方法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． [练3] 在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)||＝3，点A在点O北偏西45°方向； (2)||＝2，点B在点O正南方向． 解：(1)∵||＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆，圆弧与图中正方形对角线OP的交点即为A点．向量如示意图图1所示． (2)∵||＝2＝，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为B点．向量如示意图图2所示． 　 知识点三　相等向量与共线向量 相等向量与共线向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量a与b平行，记作a∥b． 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b (1)共线向量的定义强调的是非零向量． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同． (3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (4)向量相等具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c．而向量的平行不具有传递性． [例2] 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c． (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量． 解：(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，． (2)与a共线的向量有，，，，，，，，． (3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，． 寻找相等向量与共线向量的方法 (1)寻找相等向量：先找出与已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线的向量． (2)寻找共线向量：先找出与已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． [练4] 如图，设O是正方形ABCD的中心，则(　　) A．向量，，，是相等的向量 B．向量，，，是平行的向量 C．向量，，，是模不全相等的向量 D．＝，＝ D　解析：对于A项，向量，不共线，故A项错误； 对于B项，显然OA，OB不平行，且O，A，B三点不共线，故B项错误； 对于C项，根据正方形的性质，可知向量，，，的长度相等，故C项错误； 对于D项，根据正方形的性质，向量，方向相同，向量，方向相同． 又向量，，，的长度相等，所以＝，＝，故D项正确． [练5] 在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则这个四边形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 D　解析：由＝可知AB∥DC，且||＝||，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，所以平行四边形ABCD为菱形．故选D． 1．知识清单 (1)向量的概念及表示． (2)向量的相关概念：向量的模、零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区 (1)零向量和单位向量的方向容易混淆． (2)写共线向量时易遗漏与原向量方向相反的向量． ◎随堂演练 1．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 答案：D 2．下列说法正确的是(　　) A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行 B．共线向量一定在同一直线上 C．若|a|>|b|，则a>b D．单位向量的长度为1 D　解析：选项A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行；选项B中，共线向量不一定在同一直线上；选项C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．显然选项D正确．故选D． 3．如图，在⊙O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 C　解析：，，的模均等于圆的半径，故它们是模相等的向量． [课时梯级训练(1)见P153] 学科网（北京）股份有限公司 $$