清单04 向量的数量积（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

清单04 向量的数量积 清单01 向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 清单01 数量积定义及投影向量 1、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 在上的投影向量为 清单03 数量积的性质及运算律 1、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 2、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 清单04 数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 【考点题型一】向量的数量积（） 1．（2024·25高一下·重庆·阶段练习）若是边长为2的等边三角形，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（2023·24高一下·北京东城·期中）已知向量，，则 ． 3．（2023·24高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24高一下·四川乐山·期中）在中，，D为BC边的中点，则 ． 5．（2023 24高一下·福建龙岩·阶段练习）在 中， ，则 的值为（ ） A．20 B． C． D． 6．（2023·24高一下·北京通州·期中）已知正方形的边长为2，，则 . 【考点题型二】求向量的模长（） 7．（2023 24高一下·陕西西安·期中）已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 8．（2023·24高一下·福建厦门·阶段练习）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·24高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量，，满足，则实数（    ） A．2 B． C． D．0 10．（2023·24高一下·甘肃天水·期中）已知向量，，若向量满足，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（2023 24高一下·山东菏泽·期末）（多选）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量夹角为60° 12．（2023·24高一下·江苏徐州·期中）已知平面向量，满足，，，则 ． 13．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. (1)用，表示，并求的模； (2)求的长. 【考点题型三】利用数量积解决垂直问题（） 14．（2023·24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 15．（2023·24高一下·浙江温州·期中）若向量，则与垂直的一个单位向量 . 16．（2023 24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设向量．若，则实数 . 17．（2023·24高一下·云南德宏·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 18．（2023 24高一下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，则 19．（2023·24高一下·广东深圳·期末）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． (1)用表示； (2)如果，且，求． 【考点题型四】利用数量积求向量的夹角（） 20．（2023·24高一下·云南玉溪·期中）已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·甘肃天水·二模）在中，若且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 22．（2023·24高二下·云南·阶段练习）设向量，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2023·24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 24．（2023·24高一下·福建厦门·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 25．（2023·24高一下·江苏徐州·期中）已知三点，，． (1)若A，B，C三点共线，求x的值； (2)若，求与的夹角大小． 26．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）设为实数，若，是平面上两个不共线的向量，已知三点共线. (1)求的值； (2)若，与的夹角为，设与的夹角为，求的值 27．（2023·24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，.    (1)试用向量，表示，； (2)若，，求向量，夹角的余弦值. 【考点题型五】根据向量夹角为锐钝角求参数（） 28．（2023·24高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（2023·24高一下·山东聊城·期中）已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．（2023·24高二上·上海黄浦·期中）已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 31．（2023·24高一下·全国·课后作业）已知向量，的夹角为，且，，当向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围为 . 32．（2023·24高一下·福建莆田·阶段练习）已知与的夹角为. (1)求在方向上的投影向量; (2)求的值; (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【考点题型六】投影向量（） 33．（2024·25高二上·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 34．（2024·25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 35．（2024·25高三上·重庆·期中）已知平面向量为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 36．（2024·25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·25高二上·四川达州·期中）已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 38．（2023·24高一下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若三点共线，求实数的值； (2)若是锐角三角形，求实数取值范围； (3)是否存在实数，使得在上的投影向量是？若存在，请求出实数的值，若不存在请说明理由． 【考点题型七】数量积的最值与范围问题（） 39．（2023·24高一下·湖北·期中）已知正方形的边长为2，E为边BC的中点，为边CD的中点，为线段AB上的动点，则的最小值为 . 40．（2023·24高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 41．（2023·24高一下·浙江·期中）已知点在以点为圆心的圆上，且，则的最大值是 ． 42．（2023·24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 43．（2023·24高一下·辽宁大连·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则 ；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 44．（2023高一下·山东临沂·期中）如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为 ．    45．（2023·24高一下·江苏淮安·期中）已知等腰中，底边长为2，腰长为为所在平面内一点，则的最小值是 . 46．（2023·24高一下·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 47．（2023·24高一下·河南南阳·期中）如图，在面积为3的中，E，F分别为边AB，AC的中点，点在直线EF上，则的最小值为 . 【考点题型八】新定义问题（） 48．（2023·24高一下·山东聊城·期中）设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 49．（2023·24高三上·湖南·阶段练习）（多选）定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（    ） A．若平行四边形ABCD的面积为4，则 B．在正中，若，则 C．若，，则的最小值为 D．若，，且为单位向量，则的值可能为 50．（2023·24高一下·福建龙岩·期中）（多选）对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 51．（2023·24高一下·湖北武汉·期中）（多选）对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若Rt中，，则 D．若中，，则是等腰三角形 52．（2023·24高一下·山东临沂·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，若点为坐标原点，则 ． 53．（2023·24高一下·吉林延边·期中）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义为：若（为与轴、轴同方向单位向量），则点的斜坐标为.若在该斜坐标系中，， ，则为 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 向量的数量积 清单01 向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 清单01 数量积定义及投影向量 1、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 在上的投影向量为 清单03 数量积的性质及运算律 1、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 2、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 清单04 数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 【考点题型一】向量的数量积（） 1．（2024·25高一下·重庆·阶段练习）若是边长为2的等边三角形，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为是边长为2的等边三角形，则. 故选：B. 2．（2023·24高一下·北京东城·期中）已知向量，，则 ． 【答案】 【详解】由题意，， 则. 故答案为： 3．（2023·24高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系. ∵，， ∴， ∵点在边上，且，∴， ∴，， ∴. 故选：D. 4．（2023·24高一下·四川乐山·期中）在中，，D为BC边的中点，则 ． 【答案】/ 【详解】, 故，解得， 故. 故答案为： 5．（2023 24高一下·福建龙岩·阶段练习）在 中， ，则 的值为（ ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，. 故选：B 6．（2023·24高一下·北京通州·期中）已知正方形的边长为2，，则 . 【答案】 【详解】边长为2的正方形中，，则，而， 所以 . 故答案为： 【考点题型二】求向量的模长（） 7．（2023 24高一下·陕西西安·期中）已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【详解】由题得， 所以. 故选：B. 8．（2023·24高一下·福建厦门·阶段练习）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，，如图，可知. 所以，即，可得. 从而，，所以. 故选：C 9．（2023·24高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量，，满足，则实数（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【详解】依题意可得， 所以，整理可得， 即可得，解得. 故选：C 10．（2023·24高一下·甘肃天水·期中）已知向量，，若向量满足，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，设， 又，所以，解得， 所以， 所以. 故选：D 11．（2023 24高一下·山东菏泽·期末）（多选）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量夹角为60° 【答案】AC 【详解】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确； ，故，所以B不正确，，所以，正确． 故选：． 12．（2023·24高一下·江苏徐州·期中）已知平面向量，满足，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以两边同时平方得：， 即，解得， 所以． 故答案为：． 13．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. (1)用，表示，并求的模； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）等腰梯形，，，，，， ， 为的中点，， 作，垂足为，因为，， 所以，又，所以， ， ； （2）， 又， 在中， . 【考点题型三】利用数量积解决垂直问题（） 14．（2023·24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知， 由知. 故选：D 15．（2023·24高一下·浙江温州·期中）若向量，则与垂直的一个单位向量 . 【答案】（或，答案不唯一） 【详解】设，因为向量，且向量是垂直的单位向量， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 16．（2023 24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设向量．若，则实数 . 【答案】 【详解】由得，即， 由向量的坐标，得，解得. 故答案为：. 17．（2023·24高一下·云南德宏·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得，所以，故， 所以. （2）由已知 又，所以， 解得. 18．（2023 24高一下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，则 【答案】/ 【详解】， 由于则，则. 故答案为：. 19．（2023·24高一下·广东深圳·期末）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． (1)用表示； (2)如果，且，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， ； （2）因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 【考点题型四】利用数量积求向量的夹角（） 20．（2023·24高一下·云南玉溪·期中）已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即向量与的夹角为. 故选：C. 21．（2024·甘肃天水·二模）在中，若且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】∵，∴，其中分别是与方向相同的单位向量. 如图，在边上分别取点，使， 作平行四边形，则， 由得平行四边形为菱形，则为的平分线， 由得，故， 延长交于点，则，故既是高线，又是角平分线， ∴为等腰三角形，且， ∵，∴， 由得，， ∴为等边三角形. 故选：D. 22．（2023·24高二下·云南·阶段练习）设向量，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，则， 所以， 当时，， 则， 所以的取值范围是. 故选：A. 23．（2023·24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 【答案】/ 【详解】为边上的中线，， ，可得. ． ， ， 则． 故答案为：. 24．（2023·24高一下·福建厦门·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 【答案】/ 【详解】设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 25．（2023·24高一下·江苏徐州·期中）已知三点，，． (1)若A，B，C三点共线，求x的值； (2)若，求与的夹角大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，可得，， 因A，B，C三点共线，故，即，解得，； （2）由可得，解得，， 则,,于是， 设与的夹角为，则， 因，故. 即与的夹角为. 26．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）设为实数，若，是平面上两个不共线的向量，已知三点共线. (1)求的值； (2)若，与的夹角为，设与的夹角为，求的值 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意， ，， 由三点共线，得，则， 即，于是 ，所以. （2）由（1）知，，， 则， ， ， 所以. 27．（2023·24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，.    (1)试用向量，表示，； (2)若，，求向量，夹角的余弦值. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）， ； （2）解法一：基底法 因为，. ， ， ， 所以. 解法二：建系坐标法， 如图建系，则，，，，.   ，， 故， ，， 所以. 【考点题型五】根据向量夹角为锐钝角求参数（） 28．（2023·24高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由向量，是两个单位向量，且与的夹角为锐角，可设. 则， 因为，所以，所以， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分条件； 若，则 ，但此时，不是锐角， 所以“与的夹角为锐角”是“”的不必要条件. 总之，“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 29．（2023·24高一下·山东聊城·期中）已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解：，， 由，得， 再由，得，即． 当时，向量与的夹角为锐角， 反之，当向量与的夹角为锐角时，且． “”是“向量与的夹角为锐角”的充分不必要条件． 故选：A． 30．（2023·24高二上·上海黄浦·期中）已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 31．（2023·24高一下·全国·课后作业）已知向量，的夹角为，且，，当向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且两向量不共线. 则， 解得或. 当时，则， 可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：1.向量，的夹角为锐角，但的夹角为锐角，要排除夹角为的情况； 2.向量，的夹角为钝角，但的夹角为钝角，要排除夹角为的情况. 32．（2023·24高一下·福建莆田·阶段练习）已知与的夹角为. (1)求在方向上的投影向量; (2)求的值; (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在方向上的投影向量为； （2）； （3）因为向量与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 对于， 得， 解得， 若与共线， 则存在，得，解得， 所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为. 【考点题型六】投影向量（） 33．（2024·25高二上·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）因为，则，，， 若与的夹角为，则由， 可得：，解的：或， 则实数的取值为或. （2），因为，则， 则，可得：，，， 则在方向上的投影向量为：. 34．（2024·25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 35．（2024·25高三上·重庆·期中）已知平面向量为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，为单位向量，， 又因为，所以， 即，在方向上的投影数量为， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 36．（2024·25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 37．（2024·25高二上·四川达州·期中）已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以向量在方向上的投影向量为， 故选：B． 38．（2023·24高一下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若三点共线，求实数的值； (2)若是锐角三角形，求实数取值范围； (3)是否存在实数，使得在上的投影向量是？若存在，请求出实数的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）若为原点，由题意得，， 因为三点共线，所以，即， 所以，解得； （2）由题意可得，，， ，， ，， 因为是锐角三角形，所以 解得，显然该范围不存在m使相关向量同向共线，所以实数取值范围为； （3）由（2）知，， 在上的投影为：， 所以在上的投影向量为：， 因为在上的投影向量是，所以有，解得或, 所以存在实数，使得在上的投影向量是，此时或. 【考点题型七】数量积的最值与范围问题（） 39．（2023·24高一下·湖北·期中）已知正方形的边长为2，E为边BC的中点，为边CD的中点，为线段AB上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 所以，，因为E为边BC的中点，为边CD的中点， 所以，，故，， 得到， 由二次函数性质得，对称轴为，故当时取得最小值， 此时，则的最小值为. 故答案为： 40．（2023·24高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题， 所以由点P在斜边BC的中线AD上得， 故 ， 故选：A. 41．（2023·24高一下·浙江·期中）已知点在以点为圆心的圆上，且，则的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】因为点在以点为圆心的圆上， 所以，显然是等边三角形，内角都为， ， 显然当同向时，有最大值， 故答案为： 42．（2023·24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 43．（2023·24高一下·辽宁大连·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则 ；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 【答案】 2 6 【详解】由题意得，， ∴， ∴， 又以及正六边形的几何特征可知为的中点， 则 ， 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即. 故答案为：；． 44．（2023高一下·山东临沂·期中）如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】由得， 设，所以， 故当时，取最大值， 故答案为： 45．（2023·24高一下·江苏淮安·期中）已知等腰中，底边长为2，腰长为为所在平面内一点，则的最小值是 . 【答案】 【详解】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，如下图示， 由，则， 而，则， 所以，当时，的最小值为. 故答案为： 46．（2023·24高一下·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 47．（2023·24高一下·河南南阳·期中）如图，在面积为3的中，E，F分别为边AB，AC的中点，点在直线EF上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图所示，取边的中点，连接， 因为 ， 所以，当且仅当时取等号， 设点到边的距离为，则，当时取等号， 所以的最小值为，当且仅当且时取得． 故答案为：. 【考点题型八】新定义问题（） 48．（2023·24高一下·山东聊城·期中）设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 即，则， 故，得， ，， . 故选：D. 49．（2023·24高三上·湖南·阶段练习）（多选）定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（    ） A．若平行四边形ABCD的面积为4，则 B．在正中，若，则 C．若，，则的最小值为 D．若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确； 对于B，设正的边边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，所以B错误； 对于C，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，若，，且为单位向量， 则当时，， 此时，所以D正确. 故选：ACD. 50．（2023·24高一下·福建龙岩·期中）（多选）对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，设向量和的夹角为， 则，由，得， 则，因此， 则， 当时，，又，则， 此时，， 当时，，又，则， 此时，， 所以或． 故选：AB 【点睛】关键点睛：对于新概念题，理解定义是关键，解答本题的关键是理解和的运算法则及基本不等式的应用. 51．（2023·24高一下·湖北武汉·期中）（多选）对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若Rt中，，则 D．若中，，则是等腰三角形 【答案】ABD 【详解】对于A：因为，所以或， 所以，A正确； 对于B：因为， 所以，， 所以， ，B正确； 对于C：若Rt中，，所以， 所以，C错误； 对于D：中， 所以， 所以，因为 所以，即，是等腰三角形，D正确. 故选：ABD. 52．（2023·24高一下·山东临沂·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，若点为坐标原点，则 ． 【答案】 【详解】由点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 得点绕点沿逆时针方向旋转后得到点， 设，则有， 由点，点，得， 因此，且， 解得，即，而，则， 所以. 故答案为： 53．（2023·24高一下·吉林延边·期中）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义为：若（为与轴、轴同方向单位向量），则点的斜坐标为.若在该斜坐标系中，， ，则为 【答案】 【详解】依题意，，而， 则存在使得，即，于是，解得， 因此，即，显然， 所以. 故答案为： 21 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$