猜想02 三角函数的性质与图像高频题型归类（考题猜想，8大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

猜想02 三角函数的性质与图像高频题型归类 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 三角函数的定义域问题 · 题型二 三角函数的值域（最值）问题 · 题型三 三角函数的周期性问题 · 题型四 三角函数的奇偶性问题 · 题型五 三角函数的对称性问题 · 题型六 三角函数的单调性问题 · 题型七 根据函数图象确定函数解析式 · 题型八 三角函数图象和性质的综合应用 题型一 三角函数的定义域问题 1．（2024·25高一下·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，，解得，. 故选：C 2．（2024·25高一上·山东·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数的定义域为：， 则，解不等式得：, 所以函数的定义域为. 故选：D 3．（2023·24高一上·江苏淮安·阶段练习）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，解得， 所以，即函数定义域为. 故选：C 题型二 三角函数的值域（最值）问题 4．（2023·24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 5．（2023·24高三上·辽宁·期中）已知函数满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数满足，， 所以，即，所以，解得， 又，所以. 故选：A 6．（2023·24高三下·全国·阶段练习）函数在上没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数中，当时，， 由在上没有最小值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 7．（2023·24高一下·广东佛山·期中）若函数，则函数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，即 ∴函数的最小值为 故选：A 8．（2023·24高一下·江西宜春·期中）已知函数 在区间上的最大值记为 M，则M的取值范围为 【答案】 【详解】函数的周期，而区间的长度为1，即， 由正弦函数的单调性可知的最大值为2， 又函数的递减区间为， 即， 如图所示，    当函数的图象的最低点位于区间的图象上，且函数关于对称时，取得最小值， 此时最小值， 所以则M的取值范围为. 故答案为： 9．（2022·广东·二模）若函数的最大值为1，则常数的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一，取，均可） 【详解】函数的最大值为1， 可取与同时取到最大值1， 又时，， 时，也取到1， ， 不妨取， 此时的最大值为1，符合题意， 故常数的一个取值为， 故答案为：（不唯一）． 10．（2023·24高一下·陕西汉中·期中）已知函数在上的值域为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为在上的值域为， ，所以，解得． 故答案为：. 题型三 三角函数的周期性问题 11．（2025·河南郑州·一模）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由，是函数两个相邻的最值点， ， 所以，即. 故选：A. 12．（2024·25高二上·湖南·期中）设函数.已知，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意，为的最小值点，为的最大值点. 则，即，且，所以. 故选：B. 13．（2023·24高一下·山东威海·阶段练习）下列函数中，最小正周期为，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A项，的周期为， 当时，取，因在上单调递减，故A项错误； 对于B项，的周期是,故B项错误； 对于C项，，其周期为， 由选项A知，该函数在上单调递增，故C项正确； 对于D项，的周期为，故D项错误. 故选：C. 14．（2023·24高一下·上海·开学考试）已知，则 . 【答案】2 【详解】易知以6为周期.枚举得，，，，，， 所以.又， 所以. 故答案为： 15．（2023·24高一下·广西钦州·期中）若直线与函数的图象相交，P，Q是它们相邻的两个交点，若，则 ． 【答案】或 【详解】因为的图象与直线的相邻交点的距离为或，占周期的比例为或， 所以或，即或． 故答案为：或. 题型四 三角函数的奇偶性问题 16．（2023·24高二下·陕西商洛·期中）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【详解】令,定义域为, 则，且，所以非奇非偶. 故选：C 17．（2023·24高一下·北京·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，为偶函数； 反之，为偶函数，则或， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 18．（2023·24高一下·北京·期中）已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，且，函数的最小正周期， 令满足, 且（）,则， 由，得五点作图法的最左边端点为， 由是奇函数，得， 由是偶函数，得, 当时，，，此时； 当时，，，此时, 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标. 19．（2023·24高一上·湖北黄冈·期末）下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B，为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确； 对于D，为偶函数，故D错误. 故选：C. 20．（2024·25高三上·江苏南京·期中）已知函数，存在常数，使为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 因为存在常数，为偶函数，则， 此时为奇函数， 所以，即， 因为， 所以的最小值为. 故选：B 21．（2023·24高一下·辽宁锦州·期中），若，则 ． 【答案】0 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：0. 22．（2023·24高一下·上海浦东新·期中）已知，且，则 . 【答案】-5 【详解】，故， 所以 故答案为：-5 题型五 三角函数的对称性问题 23．（2024·25高三上·陕西咸阳·期中）函数的一个对称中心的横坐标是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，， 所以，，所以当时，， 故选：D 24．（2023·24高一下·四川内江·期中）已知，函数，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，， 即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴， 所以， 解得， 又，所以当时取得最小值. 故选：B 25．（2023·24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 26．（2023·24高二下·福建福州·期中）若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的最小正周期为， 可知，解得，故， 令，解得， 所以是的图象的一条对称轴. 故选：A 27．（2024·25高三上·江苏常州·期中）已知函数的最小正周期为T.若，且曲线关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，由，则，解得， 由，则当时，函数取得对称中心， 由题意可得，化简可得， 当时，，显然当时，， 所以，则. 故选：B. 28．（2023·24高三上·天津南开·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，即，同理， 又，即，，，， 当时，， 所以，所以， 故选：B． 29．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：A. 题型六 三角函数的单调性问题 30．（2023·24高一下·上海·期中），的单调减区间是 . 【答案】 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求单调减区间是. 故答案为： 31．（2024·25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 32．（2023·24高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】在上为严格增函数，则， 由于，则,故， 因此，解得， 故答案为： 33．（2023·24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【详解】因为函数的图象过点，所以， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以，， 即且，， 则，， 因为，得， 因为，所以时，，则； 当时，， 综上，，即的最大值为. 故选：C. 34．（2024·25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令， 则 当时，，∴，即， 令，则， ∵时，， 且时，，时，，时，， ∴，∴， 综上，. 故选：D. 35．（2023·24高一下·河南南阳·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足且，解得，即的取值范围是. 故选：D. 36．（2023高一下·四川成都·期中）（多选）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为， 函数，若在区间内单调递增， 所以，所以. 故选：BC. 题型七 根据函数图象确定函数解析式 37．（2023·24高三上·北京·期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知，， ，∴， 又， ， ∴函数的解析式为． 故选：D 38．（2023·24高三上·山东临沂·期中）（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于点对称 【答案】AD 【详解】由题图可知，又， 所以解得，故BC选项错误， 又由图可知函数图象最低点的坐标为， 所以，， 所以，解得， 又因为，所以，故A选项正确， 所以此时， 若，则， 解得，当时，有， 所以点是函数的图象的对称中心，故D选项正确. 故选：AD. 39．（2023·24高一下·陕西商洛·期中）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的单调增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）由已知得，则， 所以， 又，所以， 由函数最大值为，所以， 所以， 又函数过点， 所以，解得， 又因为，所以取， 所以， 则， 解得， 所以函数的单调增区间为； （2）由（1）得， 又，则， 所以当，即时，函数取最大值为， 当，即时，函数取最小值为. 40．（2023·24高一下·江苏连云港·期中）（多选）函数在一个周期内的图象如图示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C．对，都有 D．对，都有 【答案】BCD 【详解】由图象知：，，则，则， 又点在图像上，所以， 则，即，又因为， 所以，所以，故A错误； ，故B正确； ，所以图象关于对称，即，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 41．（2023·24高三上·福建莆田·期中）已知函数（其中）的部分图像如右图所示，则在上的值域为 ．    【答案】 【详解】    由图像可知，；从而， 又由，因为，所以，从而，当时，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，故，即，从而，即在上的值域为． 故答案为： 42．（2023·24高一下·辽宁大连·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为 . 【答案】 【详解】如图所示. 区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积， 可得，设函数的最小正周期为，则， 由题意可得，解得，故，可得， 即， 又的图象过点，即， 因为，所以，解得. 故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正切性函数的解析式求法，属于较难题.由已知不规则图形面积，显然难以直接求解，故根据正切性函数的周期性，将其平移成规则图形，即可求得周期，继而求出函数解析式. 题型八 三角函数图象和性质的综合应用 43．（2024·25高三上·辽宁大连·期中）函数，若在上有且只有四个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得. 由于，所以. 又因为在上有且只有四个零点， 所以，解得. 故选：A. 44．（2024·25高二上·安徽·期中）若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由原不等式得，， （1）时，，不等式成立，， （2）当时，， 则原问题转化为求函数的最大值问题， 令，则，其中， 因为在单调递增，所以，因此， 综合（1）、（2）可知，实数的取值范围是. 故选：B. 45．（2024·25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则（    ） A．的最小正周期是 B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】由题意可知，的最小正周期，故A不正确； 因为，由，可知为的一条对称轴， 所以，故B正确； 因为为的一条对称轴，所以，则， 又因为，所以，故， 当时，， 若在区间上恰有3个零点，则，解得， 所以的最小值为，无最大值，故C正确，D不正确. 故选：BC. 46．（2023·24高一下·江西景德镇·期中）设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】因为为函数的一个零点，且是函数图象的一条对称轴， 所以，所以，所以； 因为函数在区间上单调， 所以，即，所以，所以， 又因为，所以， 当时，， 又因为，则，所以， 又，则， 所以函数在区间上不单调，所以舍去； 当时，， 又因为，则，所以． 又， 所以函数在区间上单调，所以． 故答案为：． 47．（2024·25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，∴函数在上单调递减，∴时，， ∵，∴，∴，∴， 由题意得，即，∴ 故答案为： 48．（2023·24高一上·安徽宿州·阶段练习）已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. (1)求函数的解析式； (2)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； (3)若方程在上的解为、，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以， 所以，，则， 因为函数的一个对称中心为， 则，则， 因为，所以，，故. （2）解法一：当时，， 所以，当时，方程有两个不等的实根， 等价于当时，方程有两个不等的实根， 即与的在内的图象有两个不同的交点， 如图可知，解得，即实数的取值范围为. 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点， 作与的图象， 如图，可知，解得，即实数的取值范围为. （3）因为，则，由可得， 由图知，点与点关于直线对称，所以，， 且， 所以， . $$猜想02 三角函数的性质与图像高频题型归类 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 三角函数的定义域问题 · 题型二 三角函数的值域（最值）问题 · 题型三 三角函数的周期性问题 · 题型四 三角函数的奇偶性问题 · 题型五 三角函数的对称性问题 · 题型六 三角函数的单调性问题 · 题型七 根据函数图象确定函数解析式 · 题型八 三角函数图象和性质的综合应用 题型一 三角函数的定义域问题 1．（2024·25高一下·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·25高一上·山东·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·24高一上·江苏淮安·阶段练习）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型二 三角函数的值域（最值）问题 4．（2023·24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·24高三上·辽宁·期中）已知函数满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·24高三下·全国·阶段练习）函数在上没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·24高一下·广东佛山·期中）若函数，则函数的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（2023·24高一下·江西宜春·期中）已知函数 在区间上的最大值记为 M，则M的取值范围为 9．（2022·广东·二模）若函数的最大值为1，则常数的一个取值为 ． 10．（2023·24高一下·陕西汉中·期中）已知函数在上的值域为，则m的取值范围是 ． 题型三 三角函数的周期性问题 11．（2025·河南郑州·一模）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 12．（2024·25高二上·湖南·期中）设函数.已知，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2023·24高一下·山东威海·阶段练习）下列函数中，最小正周期为，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·24高一下·上海·开学考试）已知，则 . 15．（2023·24高一下·广西钦州·期中）若直线与函数的图象相交，P，Q是它们相邻的两个交点，若，则 ． 题型四 三角函数的奇偶性问题 16．（2023·24高二下·陕西商洛·期中）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 17．（2023·24高一下·北京·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2023·24高一下·北京·期中）已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·24高一上·湖北黄冈·期末）下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 20．（2024·25高三上·江苏南京·期中）已知函数，存在常数，使为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．（2023·24高一下·辽宁锦州·期中），若，则 ． 22．（2023·24高一下·上海浦东新·期中）已知，且，则 . 题型五 三角函数的对称性问题 23．（2024·25高三上·陕西咸阳·期中）函数的一个对称中心的横坐标是（    ） A．0 B． C． D． 24．（2023·24高一下·四川内江·期中）已知，函数，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．（2023·24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 26．（2023·24高二下·福建福州·期中）若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·25高三上·江苏常州·期中）已知函数的最小正周期为T.若，且曲线关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 28．（2023·24高三上·天津南开·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 29．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 题型六 三角函数的单调性问题 30．（2023·24高一下·上海·期中），的单调减区间是 . 31．（2024·25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 32．（2023·24高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 33．（2023·24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 34．（2024·25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（2023·24高一下·河南南阳·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（2023高一下·四川成都·期中）（多选）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 题型七 根据函数图象确定函数解析式 37．（2023·24高三上·北京·期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 38．（2023·24高三上·山东临沂·期中）（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于点对称 39．（2023·24高一下·陕西商洛·期中）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的单调增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 40．（2023·24高一下·江苏连云港·期中）（多选）函数在一个周期内的图象如图示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C．对，都有 D．对，都有 41．（2023·24高三上·福建莆田·期中）已知函数（其中）的部分图像如右图所示，则在上的值域为 ．    42．（2023·24高一下·辽宁大连·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为 . 题型八 三角函数图象和性质的综合应用 43．（2024·25高三上·辽宁大连·期中）函数，若在上有且只有四个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．（2024·25高二上·安徽·期中）若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（2024·25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则（    ） A．的最小正周期是 B． C．的最小值为 D．的最大值为 46．（2023·24高一下·江西景德镇·期中）设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为 ． 47．（2024·25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 48．（2023·24高一上·安徽宿州·阶段练习）已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. (1)求函数的解析式； (2)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； (3)若方程在上的解为、，求. $$