第10课 方差和标准差-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第10课 方差和标准差 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解方差、标准差的概念. 2.会求一组数据的方差、标准差,并会用它们表示数据的离散程度. 3.能用样本的方差来估计总体的方差. ( 知识精讲 ) 知识点01 方差与标准差 1.各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。 2.一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。 知识点02 方差与标准差的意义 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 　　 ( 能力拓展 )考点01 方差的求法 【典例1】为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲、乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）分别是： 甲：98，84，88，90；乙：90，85，95，90． 已知通过计算甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26，若学校从甲、乙两位同学中选择成绩稳定的一位参加比赛，你认为选谁参加更合适？请说明理由． 【即学即练1】3月5日，基于DeepSeek的江苏首个区域卫生领域AI智慧服务“宁宁”将正式上线!市民可通过“南京卫生12320”微信公众号获得24小时全天候、精准、快速的咨询服务．某公司为评估智慧客服“宁宁”和人工客服解决问题的效率，记录了一周内每天处理客户咨询的数量，数据如下： 周一 周二 用三 周四 周五 周六 周日 智慧客服宁宁 25 30 28 35 32 26 34 人工客服 9 17 10 20 10 19 13 （1）分别计算智慧客服宁宁和人工客服这两组数据的平均数和中位数； （2）智慧客服宁宁的数据的方差为，人工客服的数据的方差为，比较两者方差的大小：　 　（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）根据以上数据，对智慧客服宁宁和人工客服的工作数量进行评价（至少两条）． 考点02 标准差的求法 【典例2】运动会200米赛跑，5位运动员成绩如表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（　　） 运动员 A B C D E 平均成绩 标准差 时间（秒） 32 34 36 33 33 A．30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，2 【即学即练2】 已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（　　） A．2， B．3， C．，2 D．，3 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知一个样本﹣1，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差S2是（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 2．已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差为7（分2），12（分2），则小明成绩的标准差为（　　） A．49分 B．144分 C．分 D．分 4.学校要求学生每天坚持体育锻炼，吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟 5．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（　　） A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＝S乙2 C．S甲2＞S乙2 D．无法确定 6．若从一组数据2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数，则所得新数据与原数据相比（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大 7．一组数据：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1，这组数据的方差是　 　． 8．一组数据5，6，7，8，9的标准差为　 　． 9．现有一组数据：5，6，6，7，9，9，方差为S1；去掉数字7得到一组新的数据，方差为S2；则S1　 　S2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 10．若一组数据“4，a，5，6，b”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为 　 　． 11．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol•m﹣2•s﹣1），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 　 　． 12．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 ≥5 人数（人） 1 9 21 7 2 0 （1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 　 　，中位数是 　 　； （2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 13．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c s乙2 （1）在以上成绩统计表中，a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 题组B 能力提升练 14．某校篮球队5名场上队员的身高是182，188，190，190，192（单位：cm），现用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上两名身高是182cm和192cm的队员，下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的为（　　） A．中位数变大，众数不变 B．中位数不变，方差变小 C．平均数变大，众数变小 D．平均数变小，方差变大 15．已知数据x1，x2…，x10的方差计算公式为，则这组数据的（　　） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 16．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩．王老师说：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分．”张老师说：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间．”王老师和张老师对学生成绩分析的角度分别是（　　） A．平均数、众数 B．中位数、众数 C．中位数、方差 D．平均数、中位数 17．某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 　 　． 18．汉字是中华文明的重要标志，也是传承中华文明的重要载体．为了贯彻落实教育部印发的《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，提升学生规范书写意识和书写水平，某中学于11月6日～8日以“翰墨飘香，文韵悠扬”为主题开展了第一届汉字书写大赛．本次大赛满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10 乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 c 3.25 乙组 6.5 b 7 2.45 （1）根据以上成绩，统计分析表中：a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）小明是甲、乙两组中的其中一员，小明说：“这次竞赛我得了6分，在我们小组中属中游略偏下！”观察上面表格判断，小明可能为 　 　组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 19．为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2 A 70 69.5 ①　 　 ②　 　 B 72 ③　 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 题组C 培优拔尖练 20．已知一组样本数据x1，x2…，xn为不全相等的n个正数，其中n≥4．若把数据x1，x2，…，xn都扩大m倍再减去l（其中m是实数，m≠0），生成一组新的数据mx1﹣l，mx2﹣l，…，mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较，（　　） A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等 21．一组数据x1，x2，…，xn的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的标准差是 　 　． 22．随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（80＜x≤90）的所有得分数据： 85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　 　，b＝ 　 　，m＝ 　 　； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数． 23．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 s2 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回答下列问题： （1）m＝ 　 　，n＝ 　 　； （2）求丙同学的面试成绩p； （3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对 　 　同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （4）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩最高的同学是 　 　（填“甲”、“乙”或“丙”）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课 方差和标准差 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解方差、标准差的概念. 2.会求一组数据的方差、标准差,并会用它们表示数据的离散程度. 3.能用样本的方差来估计总体的方差. ( 知识精讲 ) 知识点01 方差与标准差 1.各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。 2.一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。 知识点02 方差与标准差的意义 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 　　 ( 能力拓展 )考点01 方差的求法 【典例1】为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲、乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）分别是： 甲：98，84，88，90；乙：90，85，95，90． 已知通过计算甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26，若学校从甲、乙两位同学中选择成绩稳定的一位参加比赛，你认为选谁参加更合适？请说明理由． 【思路点拨】计算出乙同学测试成绩的平均数和方差，再根据平均数和方差的意义求解即可． 【解析】解：选择乙参加比赛更合适， 理由：乙同学测试成绩的平均数为（90+85+95+90）÷4＝90（分）， 乙同学测试成绩的方差为×[（90﹣90）2+（85﹣90）2+（95﹣90）2+（90﹣90）2]＝12.5， ∵甲和乙的平均数都为90（分），且乙的方差小于甲的方差， ∴乙同学成绩稳定， ∴选择乙参加比赛更合适． 【点睛】本题考查了方差与平均数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【即学即练1】3月5日，基于DeepSeek的江苏首个区域卫生领域AI智慧服务“宁宁”将正式上线!市民可通过“南京卫生12320”微信公众号获得24小时全天候、精准、快速的咨询服务．某公司为评估智慧客服“宁宁”和人工客服解决问题的效率，记录了一周内每天处理客户咨询的数量，数据如下： 周一 周二 用三 周四 周五 周六 周日 智慧客服宁宁 25 30 28 35 32 26 34 人工客服 9 17 10 20 10 19 13 （1）分别计算智慧客服宁宁和人工客服这两组数据的平均数和中位数； （2）智慧客服宁宁的数据的方差为，人工客服的数据的方差为，比较两者方差的大小：　＜　（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）根据以上数据，对智慧客服宁宁和人工客服的工作数量进行评价（至少两条）． 【思路点拨】（1）根据平均数和中位数的定义列式求解即可； （2）根据方差的计算公式计算即可； （3）根据平均数、中位数或方差的意义求解即可． 【解析】解：（1）智慧客服宁宁的平均数为×（25+30+28+35+32+26+34）＝30，将数据重新排列为25，26，28，30，32，34，35， 所以其中位数为30； 人工客服的平均数为×（9+17+10+20+10+19+13）＝14，将数据重新排列为9，10，10，13，17，19，20， 所以其中位数为13； （2）＝×[（25﹣30）2+（26﹣30）2+（28﹣30）2+（30﹣30）2+（32﹣30）2+（34﹣30）2+（35﹣30）2]＝， ＝×[（9﹣14）2+2×（10﹣14）2+（13﹣14）2+（17﹣14）2+（19﹣14）2+（20﹣14）2]＝， ∵＜， ∴＜， 故答案为：＜； （3）智慧客服宁宁的服务效率高于人工客服， ∵智慧客服宁宁服务人数的平均数和中位数均大于人工客服， ∴智慧客服宁宁服务人数多于人工客服． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、平均数、方差的定义和意义． 考点02 标准差的求法 【典例2】运动会200米赛跑，5位运动员成绩如表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（　　） 运动员 A B C D E 平均成绩 标准差 时间（秒） 32 34 36 33 33 A．30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，2 【思路点拨】先根据算术平均数的定义求出C运动员的成绩，再依据标准差的定义列式计算即可． 【解析】解：C运动员的成绩为33×5﹣（32+34+36+33）＝30， 所以标准差为＝2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查标准差，解题的关键是掌握算术平均数和标准差的定义． 【即学即练2】已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（　　） A．2， B．3， C．，2 D．，3 【思路点拨】根据标准差的计算公式计算即可． 【解析】解：＝（2+3+4+5+6）＝4， ∴s2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2， 则标准差为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是标准差、算术平方根，熟记标准差是计算公式是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知一个样本﹣1，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差S2是（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 【思路点拨】先由平均数公式求得x的值，再由方差公式求解． 【解析】解：（﹣1+0+2+x+3）÷5＝2， ∴x＝6， ∴方差S2＝[（﹣1﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2+（6﹣2）2+（3﹣2）2]÷5＝6． 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数以及方差的定义，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解答本题的关键． 2．已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】分别计算出平均数和方差即可得出答案． 【解析】解：∵＝＝3， ＝＝4， ＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2， s＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2， ∴≠，s＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了方差和算术平均数，熟练掌握方差和算术平均数计算公式是解题关键． 3．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差为7（分2），12（分2），则小明成绩的标准差为（　　） A．49分 B．144分 C．分 D．分 【思路点拨】根据标准差和方差的定义即可得到结论． 【解析】解：∵小明的数学成绩比较稳定， 小明的数学成绩的方差为7（分2）， ∴小明成绩的标准差为分， 故选：C． 【点睛】本题考查了标准差和方差，熟练掌握标准差和方差是解题的关键． 4.学校要求学生每天坚持体育锻炼，吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟 【思路点拨】别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【解析】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88， A．平均数是（65+67+70+67+75+79+88）÷7＝73（分钟），故选项符合题意； B．这组数的众数是67分钟，故选项不符合题意； C．将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70，故选项不符合题意； D．这组方差为：S2＝[（65﹣73）2+（67﹣73）2+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75﹣73）2+（79﹣73）2+（88﹣73）2]＝，故选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键． 5．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（　　） A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＝S乙2 C．S甲2＞S乙2 D．无法确定 【思路点拨】根据折线统计图的波动情况可判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定，即方差的大小． 【解析】解：由折线统计图可得， 乙的波动大，甲的波动小，所以S甲2＜S乙2． 故选：A． 【点睛】本题考查折线统计图和方差，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 6．若从一组数据2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数，则所得新数据与原数据相比（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大 【思路点拨】根据平均数和方差计算方法计算可得答案． 【解析】解：原数据平均数为：， 2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数后数据为4，6，8，则新数据平均数为， ∴平均数不变， 原数据方差为：， 新数据方差为：， ∴平均数不变，方差变小， 故选：A． 【点睛】本题考查了方差和平均数，关键是掌握方差计算方法和平均数的计算方法． 7．一组数据：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1，这组数据的方差是　2　． 【思路点拨】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可． 【解析】解：这组数据的平均数是：（﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1）＝﹣3， 则组数据的方差是[（﹣5+3）2+（﹣4+3）2+（﹣3+3）2+（﹣2+3）2+（﹣1+3）2]＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 8．一组数据5，6，7，8，9的标准差为　　． 【思路点拨】要计算方差首先要计算出平均数，再根据方差公式计算． 【解析】解：平均数＝（5+6+7+8+9）÷5＝7， 方差＝[（5﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝2． ∴标准差＝， 故答案为． 【点睛】本题主要考查平均数、方差、标准差的计算方法，解题的关键是记住有关公式，属于中考常考题型． 9．现有一组数据：5，6，6，7，9，9，方差为S1；去掉数字7得到一组新的数据，方差为S2；则S1　＜　S2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【思路点拨】根据方差的定义分别计算出两组数据的方差即可得． 【解析】解：第1组数据的平均数为， 则其方差； 去掉数字7得到的新数据的平均数为， 则其方差； ∵， ∴S1＜S2， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了方差的意义，注意正确计算． 10．若一组数据“4，a，5，6，b”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为 　　． 【思路点拨】先根据这组数的平均数及众数求出a，b都是5，再利用方差公式计算即可． 【解析】解：∵众数为5， ∴a，b中至少有一个是5， ∵平均数为5， ∴， ∴a+b＝10， ∴a，b都是5， ∴这组数据的方差为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数据的平均数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数及方差的定义． 11．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol•m﹣2•s﹣1），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 　丁　． 【思路点拨】先比较平均数得到乙和丁光合作用速率较高，然后比较方差得到丁比较稳定． 【解析】解：因为乙和丁光合作用速率的平均数较高，所以从乙和丁中选取， 又丁的方差比乙小，所以丁的光合作用速率比较稳定， 所以应选择的优良大豆品种是丁． 故答案为：丁． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 12．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 ≥5 人数（人） 1 9 21 7 2 0 （1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 　2　，中位数是 　2　； （2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 【思路点拨】（1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）先求出平均数，再求方差，进而得出标准差． 【解析】解：（1）在全班40位同学暑假所读数学课外书的本数中，2出现的次数最多，故众数是2； 把全班40位同学暑假所读数学课外书的本数从小到大排列，排在中间的两个数均为2，故中位数为＝2． 故答案为：2，2； （2）全班同学暑假读数学课外书本数的平均数为：（0×1+1×9+2×21+3×7+4×2）＝2， 故方差为[（0﹣2）2+9×（1﹣2）2+21×（2﹣2）2+7×（3﹣2）2+2×（4﹣2）2]＝0.7， ∴全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为＝＝． 【点睛】本题考查了众数、中位数以及标准差，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． 13．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c s乙2 （1）在以上成绩统计表中，a＝ 　6　，b＝ 　7　，c＝ 　7　． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【思路点拨】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【解析】解：（1）∵甲组数据从小到大排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10， ∴中位数a＝6； ∵乙组数据从小到大排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ∴平均数， ∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多， ∴众数c＝7． （2）小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分， 所以在小组中属中游略偏上， （3）选乙组参加决赛．理由如下： ， ∵甲、乙两组学生平均数相同，而， ∴乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 题组B 能力提升练 14．某校篮球队5名场上队员的身高是182，188，190，190，192（单位：cm），现用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上两名身高是182cm和192cm的队员，下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的为（　　） A．中位数变大，众数不变 B．中位数不变，方差变小 C．平均数变大，众数变小 D．平均数变小，方差变大 【思路点拨】根据题意算出换人前后的中位数、众数、平均数，并进行比较，即可解题． 【解析】解：换人前：中位数为：190，众数为：190， 平均数为：＝188.4， 换人后：中位数为：190，众数为：190， 平均数为：＝188.8， ∵用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上两名身高是182cm和192cm的队员，数据波动变小， ∴方差变小， 综上所述，中位数不变，众数不变，方差变小，平均数变大，方差变小， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，掌握相关的概念是解题的关键． 15．已知数据x1，x2…，x10的方差计算公式为，则这组数据的（　　） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【思路点拨】由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10，从而得出答案． 【解析】解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10， 故选：C． 【点睛】本题主要考查标准差、方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式． 16．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩．王老师说：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分．”张老师说：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间．”王老师和张老师对学生成绩分析的角度分别是（　　） A．平均数、众数 B．中位数、众数 C．中位数、方差 D．平均数、中位数 【思路点拨】根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数． 【解析】解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分， ∴是根据这组数据的中位数来分析的； ∵大部分的学生都考在85分到90分之间， ∴众数在此范围内． 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语． 17．某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 　m＞n　． 【思路点拨】分别计算出原数据和新数据的方差即可得． 【解析】解：分别计算出原数据和新数据的方差进行比较如下： 原数据的平均数为：， 方差为：； 新数平均数为：， 所以方差为： 进行比较可得： ∴m＞n． 故答案为：m＞n． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式． 18．汉字是中华文明的重要标志，也是传承中华文明的重要载体．为了贯彻落实教育部印发的《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，提升学生规范书写意识和书写水平，某中学于11月6日～8日以“翰墨飘香，文韵悠扬”为主题开展了第一届汉字书写大赛．本次大赛满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10 乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 c 3.25 乙组 6.5 b 7 2.45 （1）根据以上成绩，统计分析表中：a＝ 　6.5　，b＝ 　7　，c＝ 　6　； （2）小明是甲、乙两组中的其中一员，小明说：“这次竞赛我得了6分，在我们小组中属中游略偏下！”观察上面表格判断，小明可能为 　乙　组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【思路点拨】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【解析】解：（1）， 把乙组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数b＝7； 甲组学生成绩中，数据6出现次数最多，所以众数c＝6， 故答案为：6.5；7；6； （2）小明可能是乙组的学生，理由如下： 因为乙组的中位数是（7分），而小明得了（6分），所以在小组中属中游略偏下， 故答案为：乙； （3）选乙组参加决赛．理由如下： ∵两组平均数相同，，，， ∴乙组的成绩比甲组稳定， 故选乙组参加决赛． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，关键是根据概念解答． 19．为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2 A 70 69.5 ①　72　 ②　17.8　 B 72 ③　71　 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据众数、方差及中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可． 【解析】解：（1）A组数据为64、66、67、68、69、70、72、72、72、80， 则其众数为72，方差为×[（64﹣70）2+（66﹣70）2+（67﹣70）2+（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+3×（72﹣70）2+（80﹣70）2]＝17.8， B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为＝71， 故答案为：72、17.8、71； （2）B款无人机运行时间更有优势， ∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， ∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数、方差的定义． 题组C 培优拔尖练 20．已知一组样本数据x1，x2…，xn为不全相等的n个正数，其中n≥4．若把数据x1，x2，…，xn都扩大m倍再减去l（其中m是实数，m≠0），生成一组新的数据mx1﹣l，mx2﹣l，…，mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较，（　　） A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等 【思路点拨】根据平均数、中位数、方差和标准差的概念、计算公式判断即可． 【解析】解：A、设原数据的平均数为， 则新数据的平均数为m﹣1，平均数不相等，不符合题意； B、设原数据的中位数为a， 则新数据的平均数为ma﹣1，中位数不相等，不符合题意； C、设原数据的方差为S2， 则新数据的方差为m2S2，方差可能相等，也可能不相等，不符合题意； D、设原数据的标准差为S， 则新数据的标准差为mS，当m＝1时，标准差相等，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是平均数、中位数、方差和标准差，掌握相关的概念、计算公式是解题的关键． 21．一组数据x1，x2，…，xn的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的标准差是 　8　． 【思路点拨】先求出这组数据的平均数与方差，再由方差的算术平方根即为标准差即可求解． 【解析】解：由题意知，即x1+x2+⋯+xn＝5n； 而， ∵， ∴ ＝ ＝4×16 ＝64， ∴标准差为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了方差，标准差，算术平均数，掌握相应的运算法则是关键． 22．随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（80＜x≤90）的所有得分数据： 85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　86.5　，b＝ 　85　，m＝ 　20　； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数． 【思路点拨】（1）根据中位数和众数的定义求出a、b的值，再求出乙款中C组所占的百分比，然后用1分别减去各组所占的百分比得到m的值； （2）通过比较两款的方差进行判断； （3）用900乘以甲款中D组所占的百分比和1200乘以乙款中D组所占的百分比，然后求它们的和即可． 【解析】解：（1）∵甲款人工智能软件的所有评分数据中85出现的次数最多， ∴众数为85， 即b＝85， 乙款人工智能软件的评分的中位数为（87+86）＝86.5（分）， 即a＝86.5； ∵乙款人工智能软件中C组所占的百分比为×100%＝40%， ∴m%＝1﹣40%﹣30%﹣10%＝20%， 即m＝20； 故答案为：86.5，85，20； （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎． 理由如下： ∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎； （3）∵900×+1200×20%＝510（名）． ∴估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数为510名． 【点睛】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小．也考查了中位数和众数． 23．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 s2 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回答下列问题： （1）m＝ 　9　，n＝ 　8　； （2）求丙同学的面试成绩p； （3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对 　乙　同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （4）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩最高的同学是 　乙　（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【思路点拨】（1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）把十位评委的打分相加可得答案； （3）根据方差的意义解答即可； （4）根据加权平均数公式计算即可． 【解析】解：（1）把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数m＝＝9， 由扇形图可知丙的得分（8分）的最多，故众数n＝8； 故答案为：9，8； （2）6×10×20%+8×10×40%+9×10×10%+10×10×30%＝83， 答：丙同学的面试成绩p为83； （3）由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； （4）甲的综合成绩为：87×40%+85×60%＝85.8（分）， 乙的综合成绩为：85×40%+87×60%＝86.2（分）， 丙的综合成绩为：90×40%+83×60%＝85.8（分）， 86.2＞85.8， 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 学科网（北京）股份有限公司 $$