第8章 立体几何初步 阶段复习提升课（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

立体几何初步 第八章 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A C 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A C 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 A 专题一　空间几何体的结构特征 1．紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． 2．通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． [练1] 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体，其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 ①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直底面，故不一定是直平行六面体，错误；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体，正确． [练2] 棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得的两棱台的高的比为(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4 将棱台还原为棱锥，设顶端小棱锥的高为h.两棱台的高分别为x1，x2，则()2＝，解得x1＝.()2＝，解得x2＝h.故＝. 专题二　空间几何体的表面积与体积 1．空间几何体表面积的求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 2．空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． [练3] 如图，如果底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是(　　) A．πr2(a＋b) B．πr2(a＋b) C．πr2(a＋b) D．2r2(a＋b) 将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为(a＋b)的圆柱，故圆柱被截后剩下部分的体积为πr2(a＋b). [练4] 一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案：12 由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则×6××22×h＝2，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为＝2，故该六棱锥的侧面积为×6×2×2＝12. [练5] 如图所示的三棱锥O­ABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2，1 cm2，3 cm2，求三棱锥O­ABC的体积． 设OA，OB，OC的长依次为x cm，y cm，z cm， 则由已知可得xy＝1.5，xz＝1，yz＝3，解得x＝1，y＝3，z＝2.将三棱锥O­ABC看成以C为顶点，以OAB为底面． 易知OC为三棱锥C­OAB的高．于是V三棱锥O­ABC＝V三棱锥C­OAB＝S△OAB·OC＝××1×3×2＝1(cm3). 专题三　与球有关的切、接问题 与球相关问题的解题策略 (1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题． (2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素 放到这些关系中来解决． [练6] 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　) A．16π B．20π C．24π D．32π 由题得正四棱柱的底面积为4，则正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为2，正四棱柱的体对角线为2.而球的直径等于正四棱柱的体对角线，即2R＝2，R＝，S球＝4πR2＝24π. [练7] 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是(　　) A．96 B．16 C．24 D．48 由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有×＝R＝2，解得a＝4.故此三棱柱的体积V＝××(4)2×4＝48. 专题四　证明共点、共线、共面问题的方法 1．三线共点问题 证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 2．三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的 公共点，则此点必在两个平面的交线上． 3．共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合． [练8] 如图，在底面是平行四边形的四棱锥S­ABCD中，O为AC，BD的交点，P，Q分别为△SAD，△SBC的重心．求证：S，P，O，Q四点共面． 如图，连接SP，SQ，并分别延长交AD，BC于点M，N，连接MN. 因为点P，Q分别为△SAD，△SBC的重心，所以M，N分别为AD，BC的中点，所以O∈MN. 由棱锥的性质，知点S，M，N不共线，所以确定一个平面SMN， 所以MN⊂平面SMN，所以O∈平面SMN. 又P∈SM，Q∈SN，SM⊂平面SMN，SN⊂平面SMN， 所以P∈平面SMN，Q∈平面SMN， 所以S，P，O，Q四点共面． 专题五　空间的平行关系 1．平行问题的转化关系 2．直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质． 3．平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论． [练9] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示． (1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论． (1)点F，G，H的位置如图所示． (2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体， 所以BC∥FG，BC＝FG. 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形， 所以BE∥CH. 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH. 同理BG∥平面ACH. 又BE∩BG＝B，BE，BG⊂平面BEG，所以平面BEG∥平面ACH. 专题六　空间中的垂直关系 1．空间中垂直关系的相互转化 2．判定线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质． 3．判定线线垂直的方法 (1)平面几何中证明线线垂直的方法． (2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b. (3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 4．判断面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角． (2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. [练10] 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°.G为线段PC上的点． (1)证明：BD⊥平面APC； (2)若G满足PC⊥平面BGD，求的值． (1) 设点O为AC，BD的交点． 由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线． 所以O为AC的中点，BD⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 又AC∩PA＝A，AC⊂平面APC，PA⊂平面APC， 所以BD⊥平面APC. (2)连接OG，如图． 因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD， 所以PC⊥OG. 在△ABC中，由余弦定理，得AC＝2. 在Rt△PAC中，得PC＝. 易知△OCG∽△PCA，则＝， 所以GC＝＝. 从而PG＝，所以＝. 专题七　折叠问题 解决折叠问题的关键和解题步骤 　解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下： (1)平面→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形．想象出空间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化． (2)空间→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变． [练11] 如图1，在等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝，EF＝2＋，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图2所示的四棱锥E­ABCD(E，F重合). (1)求证：BE⊥DE； (2)设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE. (1) 因为AD⊥EF，所以AD⊥AE，AD⊥AB. 又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， 所以AD⊥平面ABE.又BE⊂平面ABE，所以AD⊥BE. 由图1和题中所给条件知，AE＝BE＝1，AB＝CD＝， 所以AE2＋BE2＝AB2，即AE⊥BE. 又因为AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面ADE， 所以BE⊥平面ADE.又DE⊂平面ADE，所以BE⊥DE. (2) 如图，取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG. 则MP∥AE，GP∥CB∥DA， 所以MP∥平面DAE，GP∥平面DAE. 因为MP⊄平面DAE，AE⊂平面PAE， 因为MP∩GP＝P，MP，GP⊂平面MPG，所以平面MPG∥平面DAE. 因为MG⊂平面MPG，所以MG∥平面DAE，即存在点N与G重合满足条件． $$