课时梯级训练(38) 平面与平面垂直的性质及应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(38)　平面与平面垂直的性质及应用 1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(　　) A．a⊥β B．a∥β C．a与β相交 D．以上都有可能 D　解析：因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．故选D. 2．已知直线m，n和平面α，β.若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　) A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α B　解析：已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β. 3．已知m，n，l是不重合的直线，α，β是不重合的平面，α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　　) A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 C　解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n. 4. 如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则下列说法正确的是(　　) A．PD⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC B　解析：因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC. 5．如图，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A­BCDE，则平面ABC与平面ACD的关系是________． 答案：垂直 6．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________． 答案：3　解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面BCD.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD.因为在折叠前AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.折叠后仍有CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对． 7.如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长． 解：如图，连接BC.因为α⊥β，α∩β＝AB，BD⊥AB， 所以BD⊥平面α. 因为BC⊂α，所以BD⊥BC，在Rt△BAC中， BC＝＝＝5， 在Rt△DBC中，CD＝＝＝13， 所以CD的长为13 cm. 8. 如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC. 证明：因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD， 平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面SCD. 又因为BC⊂平面SBC，所以平面SCD⊥平面SBC. 9．(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论一定成立的是(　　) A．PE⊥AC B．PE⊥BC C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD ABC　解析：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，选项A，B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，选项C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．故选ABC. 10. 如图，三棱锥P­ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是(　　) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 D　解析：因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°，所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点．故选D. 11．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________． 答案：45°　解析：过A作AO⊥BD于点O(图略)， 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以∠ADO＝45°. 12．如图，四面体P-ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________. 答案：13　解析：如图，取AB的中点E，连接PE，EC. 因为∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，所以CE＝5. 因为PA＝PB＝13，E是AB的中点，所以PE⊥AB，PE＝12. 因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB， 所以PE⊥平面ABC. 因为CE⊂平面ABC，所以PE⊥CE. 在Rt△PEC中，PC＝＝13. 13. 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD， 所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. 14．如图，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1). (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD? (1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD. 因为CD⊥BC且AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC. 又＝＝λ(0<λ<1)， 所以不论λ为何值，恒有EF∥CD，所以EF⊥平面ABC. 又EF⊂平面BEF， 所以不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC. (2)解：由(1)知，EF⊥BE， 又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE⊂平面BEF， 所以BE⊥平面ACD，所以BE⊥AC. 因为BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°， AB⊥平面BCD， 所以BD＝，AB＝tan 60°＝， 所以AC＝＝， 由AB2＝AE·AC，得AE＝，所以λ＝＝， 故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $$