课时梯级训练(34) 直线与直线垂直（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(34)　直线与直线垂直 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 B　解析：因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c. 2．教室内有一把直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线(　　) A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 D　解析：若直尺与地面相交，则C项不正确；若直尺平行于地面，则B项不正确；若直尺放在地面上，A项不正确．故选D. 3．在空间四边形ABCD中，已知E，F分别为AC，BD中点．若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(　　) A.30° B．45° C．60° D．90° A　解析：取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH(或其补角)是EF与CD所成的角，∠EFH(或其补角)是EF与AB所成的角．在△EFH中，∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.故选A. 4．(多选)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则(　　) A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直 ACD　解析：因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形，则CC1与B1E必相交，A项正确．易知B项错误，C项正确．直线AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确． 5．已知∠ABC＝120°，MN，PQ为异面直线，其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成角的大小为________． 答案：60°　解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60°. 6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1的6个面的对角线中，与AD1异面且与AD1所成角为90°的面对角线共有________条． 答案：1　解析：在正方体的面的对角线中，与AD1异面的面对角线有A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中与AD1所成角为90°的仅有B1C. 7. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点，求异面直线AB与C1D所成角的余弦值． 解：作DE∥AB交AC于点E，则∠C1DE为异面直线AB与C1D所成的角， 因为D为BC的中点，DE∥AB，所以DE是△ABC的一条中位线， 所以DE＝AB＝1. 因为正三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥平面ABC，而CD，AC⊂平面ABC， 所以CC1⊥CD，CC1⊥AC. 所以在Rt△CC1D中，CC1＝2，CD＝BC＝1，则C1D＝＝， 在Rt△CC1E中，CC1＝2，CE＝AC＝1，则C1E＝＝， 在△C1DE中，DE＝AB＝1， 由余弦定理得cos ∠C1DE＝＝＝. 8. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝.求证：AD⊥BC. 证明：取BD的中点H，连接EH，FH(图略). 因为E是AB的中点，且AD＝2， 所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1， 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 又因为EF＝，所以EH2＋FH2＝EF2， 所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°. 故AD⊥BC. 9．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　) A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 A　解析：如图，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角． 10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与BB1所成的角为30°，则AA1＝(　　) A． B．3 C． D． D　解析：如图所示，连接A1C1， ∵B1B∥A1A， ∴∠A1AC1是异面直线AC1与BB1所成的角，即∠A1AC1＝30°， 在Rt△A1B1C1中，A1C1＝＝＝， 在Rt△A1AC1中，有＝tan 30°，即AA1＝＝＝. 11.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的大小为________. 答案：90°　解析：如图，取CD的中点E，连接C1E，ME，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为AB的中点，∴ME∥BC∥B1C1，ME＝BC＝B1C1， ∵四边形B1C1EM为平行四边形， ∴C1E∥B1M， ∴异面直线B1M与CN所成角，即为直线C1E与CN所成的角． 在正方形CC1D1D中，Rt△C1CE≌Rt△CDN， ∴∠CC1E＝∠DCN，∠CC1E＋∠C1EC＝∠DCN＋∠C1EC＝90°， ∴C1E⊥CN，∴直线B1M与CN所成角的大小为90°. 12．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________． 答案：5　解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN，所以∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，所以∠MPN＝90°，又PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，所以MN＝5. 13．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1. 解：如图，连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1， 所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角． 因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°， 所以∠AD1C＝90°. 因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2， 所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝AC， 因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， 所以AC＝2×sin 60°×2＝6，所以AD1＝AC＝3，所以AA1＝＝＝. 14．当动点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是________． 答案：[，]　解析：设正方体的棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP(图略).由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角．在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos ∠AD1P＝.又因为x∈[0，1]，所以cos ∠AD1P＝∈[，].又∠AD1P∈(0，π)，所以∠AD1P∈[，]. 学科网（北京）股份有限公司 $$