8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定及应用（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 8．6.3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定及应用 第八章 返回导航 数学 必修 第二册 A 学习目标 1．理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角． 2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能用定义和定理判定面面垂直． 返回导航 数学 必修 第二册 A 知识点一　二面角及二面角的平面角 　 观察以下三个二面角，看看它们的大小． 返回导航 数学 必修 第二册 A 两个半平面 棱 二面角的面 返回导航 数学 必修 第二册 A ∠AOB 返回导航 数学 必修 第二册 A 二面角与平面几何中的角的对比 平面几何中的角 二面角 图形 定义 从平面内一点出发的两条射线组成的图形 从一条直线出发的两个半平面组成的图形 返回导航 数学 必修 第二册 A   平面几何中的角 二面角 表示法 由射线－点(顶点)－射线构成，记为∠AOB 由半平面－线(棱)－半平面构成，记为二面角α­l­β 意义 定量的反映两条直线的位置关系 定量的反映两个平面的位置关系 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 直二面角 α⊥β 返回导航 数学 必修 第二册 A 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的_____，那么这两个平面垂直 符号语言 a⊂α，a⊥β⇒α⊥β 垂线 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 A 1．二面角与平面几何中的平面角有什么区别？ 2．构成二面角的要素有哪些？ P­l­Q P­AB­Q 二面角的有关概念 (1)定义：从一条直线出发的___________所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的___，②两个半平面叫做___________． (3)画法： (4)记法：二面角_______或_________或________或_________. α­l­β α­AB­β (5)二面角的平面角：若有 ①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l， 则二面角α­l­β的平面角是_______． (6)二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°. (7)直二面角：平面角为直角的二面角． [例1] 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD. (1)求二面角A­CD­P平面角的大小； (2)求二面角B­PA­C平面角的大小． (1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. 又四边形ABCD为正方形， 所以CD⊥AD. 又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 所以∠PDA是二面角A­CD­P的平面角，易求∠PDA＝45°.即二面角A­CD­P平面角的度数为45°. (2)因为PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA， 所以∠BAC为二面角B­PA­C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°. 即二面角B­PA­C平面角的度数为45°. 求二面角的关键点、步骤及注意点 (1)关键点：求二面角的大小关键是要找出或作出平面角． (2)步骤：一般是把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算． 注意：为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等． [练1] (2024·衡阳高一期中)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角PBCA的大小． 由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 因为AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，所以AC⊥BC. 又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC. 又因为BC是二面角P-BC-A的棱， 所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角． 又因为PA＝AC，所以△PAC是等腰直角三角形， 所以∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°. 知识点二　面面垂直的判定定理及其应用 1．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作_____． (2)画法：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直． (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决． [例2]如图，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，且SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 方法一(利用定义证明)　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC均是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC. 令SA＝a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示， 则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角． 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 方法二(利用判定定理)　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心． 因为△SBC为直角三角形， 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC. 证明面面垂直常用的方法 (1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角． (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”． [练2] 如图所示，四棱锥S-ABCD中，点E在线段AB上(不含端点位置)，∠ABC＝∠BAD＝60°，AB＝BC＝SA＝SB＝SC＝2AD＝4. 求证：平面SBC⊥平面ABCD. 设点M为BC的中点，连接SM，MA，如图． BC＝SB＝SC，即BC2＝SB2＋SC2，则有SB⊥SC， 由题意得MB＝MC＝2，SM⊥BC，且SM＝2， 在△ABM中，由余弦定理得MA2＝AB2＋MB2－2AB·MB cos 60°＝12， 则MA＝2，∵MA2＋MB2＝AB2，∴MA⊥BC. ∠ABC＝∠BAD＝60°，得MC∥AD，且MC＝AD＝2， 则四边形AMCD为矩形，∴AM∥CD. 在△SAM中，SA2＝MA2＋SM2，∴SM⊥MA， 而SM⊥BC，MA∩BC＝M，MA，BC⊂平面ABCD，∴SM⊥平面ABCD， 而SM⊂平面SBC，故平面SBC⊥平面ABCD. 1．知识清单 (1)二面角以及二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的定义和判定定理． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：面面垂直判定定理的条件． ◎随堂演练 1．(2024·常德高一检测)下列条件中，能判定两平面垂直的是(　　) A．垂直于同一直线的两平面垂直 B．垂直于同一平面的两平面垂直 C．平行于同一直线的两平面垂直 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 A.垂直于同一直线的两平面平行，A错误； B．垂直于同一平面的两平面相交或平行，B错误； C．平行于同一直线的两平面相交或平行，C错误； D．根据面面垂直的判断定理可知，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，D正确． 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角的大小为________． 答案：45° 根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A­BC­A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°. 3．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1. 因为BCC1B1是菱形， 所以B1C⊥BC1.又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，BC1，A1B⊂平面A1BC1， 所以B1C⊥平面A1BC1. 又B1C⊂平面AB1C， 所以平面AB1C⊥平面A1BC1. $$