8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.2　直线与平面垂直 第2课时　直线与平面垂直的性质 第八章 返回导航 数学 必修 第二册 A 学习目标 1．掌握直线与平面垂直的性质定理． 2．掌握线面距、面面距的概念． 3．会利用性质定理证明相关问题． 返回导航 数学 必修 第二册 A 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 　 返回导航 数学 必修 第二册 A 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 符号语言 图形语言 直线与平面垂直的性质定理 平行 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A C 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 任意 任意一点 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A C 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 A 如图是日常生活中常见的一排排和地面垂直的旗杆．这排旗杆中的每根杆所在直线都与地面垂直，想想这些旗杆所在直线之间存在的位置关系． 1．旗杆所在直线与地面所在平面有何位置关系？ 2．各旗杆所在的直线间是什么位置关系？ (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直). (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据． [例1] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行的定义：证明两直线共面且无公共点． (2)利用基本事实4：证明两直线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直． (5)利用面面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明面面平行． [练1] (2024·天津卷)若m，n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交 对于A，若m∥α，n∥α，则m，n平行或异面或相交，故A错误． 对于B，若m∥α，n∥α，则m，n平行或异面或相交，故B错误． 对于C，m∥α，n⊥α，过m作平面β，使得β∩α＝s， 因为m⊂β，故m∥s，而s⊂α，故n⊥s，故m⊥n，故C正确． 对于D，若m∥α，n⊥α，则m与n相交或异面，故D错误． 故选C. 知识点二　线面距、面面距 1．直线与平面间的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上______一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的__________到另一个平面的距离都相等，叫做这两个平行平面间的距离． [例2] 已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5. (1)求点B1到平面A1BCD1的距离； (2)求B1C1到平面A1BCD1的距离． (1)如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E. 由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1， 所以BC⊥B1E. 因为BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BCD1，A1B⊂平面A1BCD1， 所以B1E⊥平面A1BCD1， 所以线段B1E的长即为所求． 在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝， 所以点B1到平面A1BCD1的距离为. (2)因为B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1， 所以B1C1∥平面A1BCD1. 所以点B1到平面A1BCD1的距离即为所求， 所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为. 求点面距、线面距和面面距的策略 (1)从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． [练2] 如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离． 设点A到平面A1BD的距离为h，则 ·AB＝×a××a×a＝a3. 在△BA1D中，BD＝A1B＝A1D＝a， ·h＝×h××(a)2＝a2h. ∴h＝a，∴点A到平面A1BD的距离为a. 综合应用：直线与平面垂直的判定与性质的综合 [例3] (2024·绵阳高一阶段测试)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AD⊥平面CDP，BD与AC交于点F，PC＝PD，点E为CP的三等分点(靠近点P)，点O为CD的中点，连接BO，PO. (1)求证：AP∥平面BDE； (2)求证：AB⊥BP. (1)连接EF， ∵AB∥CD，CD＝2AB，∴＝＝. ∵点E为CP的三等分点(靠近点P)， ∴＝，∴＝，∴EF∥AP. 又EF⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，∴AP∥平面BDE. (2)∵PD＝PC，O为CD中点， ∴PO⊥CD. ∵AD⊥平面CDP，PO⊂平面CDP，∴PO⊥AD. ∵AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD. ∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PO. ∵AB∥CD，CD＝2AB，∴四边形ABOD为平行四边形． 又AD⊥平面CDP，CD⊂平面CDP，∴AD⊥CD，∴四边形ABOD 为矩形， ∴AB⊥BO.又BO∩PO＝O，BO，PO⊂平面BOP，∴AB⊥平面BOP. 又BP⊂平面BOP，∴AB⊥BP. 线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直，一般转化为证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面． (2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来． [练3] 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点． 求证：(1)DE＝DA； (2)DM⊥平面AEC. (1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于点F， 则CF＝DB＝a. 因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，所以DF⊥EC， 所以DE＝＝a. 又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝＝a， 所以DE＝DA. (2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綉CE綉DB. 所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN. 又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD. 又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE. 又EC，AE⊂平面AEC，EC∩AE＝E， 所以DM⊥平面AEC. 1．知识清单 (1)直线与平面垂直的性质定理． (2)线面距、面面距． (3)直线与平面垂直的判定与性质的综合． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：线面垂直判定与性质的转化． ◎随堂演练 1．已知不重合的直线a，b和平面α，下列命题正确的是(　　) A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥α，b∥α，则a∥b C．若a∥b，b⊂α，则a∥α D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b 若a∥α，b⊂α，则a，b有可能平行，有可能异面，A错误； 若a∥α，b∥α，则a，b有可能相交、异面、平行，B错误； 若a∥b，b⊂α，则a有可能在平面内，C错误； 由线面垂直性质定理可知，D正确． 2．(2024·长沙高一月考)如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝4，则PC等于(　　) A．4 B．2 C．8 D．12 连接PB，PC，因为∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝4， 由余弦定理可得AC＝＝4. ∵PA⊥平面ABC，AC在平面ABC内，∴PA⊥AC，PC＝＝8. 3.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________. 答案：6　 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE. 又∵AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形， ∴EF＝AD＝6. 4.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________． 答案：平行 因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC， 所以DE∥PA. 又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC. $$