8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

立体几何初步 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 第八章 返回导航 数学 必修 第二册 A 学习目标 1.了解空间两条直线的位置关系． 2．理解空间直线与平面的位置关系． 3．掌握空间中平面与平面的位置关系． 返回导航 数学 必修 第二册 A 知识点一　空间中直线与直线的位置关系　 　 返回导航 数学 必修 第二册 A 　 任何一个 返回导航 数学 必修 第二册 A C 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 1．空间中直线与平面的三种位置关系 (1)直线在平面内——有______个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有______公共点； (3)直线与平面______——______公共点． 当直线与平面______或______时，直线不在平面内，也称_____________． 无数 一个 平行 没有 相交 平行 直线在平面外 返回导航 数学 必修 第二册 A α∩a＝A a∥α 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A α∥β 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 答案：② 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 证 明 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A B 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 A 观察上面两张图片，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？ 1．异面直线：不同在____________平面内的两条直线． 2．两条直线的位置关系 3．异面直线的表示法：衬托平面法，如图所示． [练1] 如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　) 应严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，不能仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．选项A，B中，PQ∥RS；选项D中，PQ和RS相交．故选C. [练2] 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 可借助长方体来判断．如图， 在长方体ABCD­A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，若c是长方体ABCD­A′B′C′D′中的B′C′，DD′或CC′，则a和c可以平行、相交或异面． 判断空间中两条直线位置关系的方法 (1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别要关注异面直线． (2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． 知识点二　空间中直线与平面的位置关系 2．直线与平面三种位置关系的表示法 (1)图形表示 (2)直线与平面位置关系的符号表示 直线a与平面α相交于点A，记作________；直线a与平面α平行，记作________． [例1] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ (1)AM所在的直线与平面ABCD； (2)CN所在的直线与平面ABCD； (3)AM所在的直线与平面CDD1C1； (4)CN所在的直线与平面A1B1C1D1. (1)∵A∈平面ABCD，M∉平面ABCD，∴AM所在的直线与平面ABCD相交． (2)∵C∈平面ABCD，N∉平面ABCD，∴CN所在的直线与平面ABCD相交． (3)在正方体中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AM⊂平面ABB1A1，所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行． (4)因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面ABCD∥平面 A1B1C1D1，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交． 直线与平面位置关系的判断方法 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点． [练3] 在长方体ABCD­A1B1C1D1中， (1)用符号表示B1C与长方体各个面的位置关系； (2)BD1与长方体各个面有什么位置关系． (1)B1C⊂平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C∩平面DCC1D1＝C，B1C∩平面A1B1C1D1＝B1，B1C∩平面ABCD＝C，B1C∩平面ABB1A1＝B1. (2)BD1与6个面都相交． 知识点三　空间中平面与平面的位置关系 1．空间中平面与平面的两种位置关系 (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． 2．两个平面平行的表示 (1)图形表示 (2)符号表示 平面α与平面β平行，记作____． [例2] 已知三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b. (1)判断c与α的位置关系，并说明理由； (2)判断a与b的位置关系，并说明理由． (1)c∥α.理由如下：因为α∥β，所以α与β没有公共点． 又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α. (2)a∥b.因为α∥β，所以α与β没有公共点． 又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ， 所以a，b没有公共点． 由于a，b都在平面γ内， 因此a∥b. 1．平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点． (2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． 2．常见的平面和平面平行的模型 (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行． (2)长方体的六个面中，三组相对面平行． [练4] 已知下列命题： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面； ③若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交. 其中正确命题的是________．(填序号) 综合应用：异面直线的判定 [例3] 设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，直线A1B1与A2B2有怎样的位置关系？为什么？ 直线A1B1与A2B2是异面直线．理由如下： 假设直线A1B1与A2B2不是异面直线， 则直线A1B1与A2B2确定一个平面α. 所以A1，B1，A2，B2∈α，故A1A2⊂α，B1B2⊂α， 所以a⊂α，b⊂α，所以a，b共面于α， 与a，b是异面直线矛盾，所以假设不成立， 所以A1B1与A2B2是异面直线． 异面直线的判定方法 (1)利用定义，即既不平行也不相交的直线是异面直线； (2)利用定理判定：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． [练5] 如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1B与AD1是异面直线． A1B⊂平面AA1B1B，A∈平面AA1B1B， A∉直线A1B，D1∉平面AA1B1B，由异面直线的判定定理可得，A1B与AD1是异面直线． 1．知识清单 (1)两条直线的位置关系． (2)直线与平面的位置关系． (3)平面与平面的位置关系． 2．方法归纳：特例、举反例． 3．常见误区：异面直线的判断． ◎随堂演练 1．若M∈平面α，M∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 由基本事实3可知，平面α与平面β相交． 2．a，b为异面直线是指(　　) ①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立． A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④ ②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义． 3．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 在题图②④中，直线GH，MN是异面直线； 在题图①中，由G，M均为所在棱的中点，易得GH∥MN； 在题图③中，连接GM，由G，M均为所在棱的中点，所以GM∥NH，且GM＝NH，易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交． 4．已知直线a在平面α外，则(　　) A．a∥α B．直线a与平面α至少有一个公共点 C．a∩α＝A D．直线a与平面α至多有一个公共点 直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D. $$