课时梯级训练(20) 复数的三角表示式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(20)　复数的三角表示式 1．复数z＝isin 10°的三角形式是(　　) A．cos 10°＋isin 10° B．isin 10° C．sin 10°(cos 90°＋isin 90°) D．sin 10°(cos 0°＋isin 0°) C　解析：z＝isin 10°＝sin 10°(0＋i)＝sin 10°(cos 90°＋isin 90°). 2．复数－＋i表示成三角形式正确的是(　　) A．cos ＋isin B．cos ＋isin C．cos ＋isin D．－cos ＋isin C　解析：∵r＝＝1，∴cos θ＝－，sin θ＝.又θ∈[0，2π)，∴θ＝，∴－＋i＝cos ＋isin .故选C. 3．(多选)下列各角是复数3－3i的辐角的是(　　) A．－ B． C． D． ABD　解析：∵r＝＝6，cos θ＝，sin θ＝－，∴辐角主值θ＝，故可以作为复数3－3i的辐角的是＋2kπ，k∈Z.∴当k＝－1时，＋(－2π)＝－；当k＝0时，＋0＝；当k＝2时，＋4π＝.故选ABD. 4．复数z＝r(cos θ＋isin θ)(r＞0，θ∈R)，把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－i D．＋i D　解析：由复数z的模为2，辐角为，可得z＝2(cos ＋isin )＝－1＋i.所以＝＝＝＋i.故选D. 5．若复数z＝，则arg z＝________． 答案：　解析：z＝＝＝＝＝i，复数z在复平面内对应点的坐标为(0，1)，点(0，1)在y轴上，所以arg z＝. 6．已知z＝1＋i，求复数ω＝的模和辐角主值，并写出复数ω的三角形式． 解：∵ω＝＝＝＝1－i， ∴|ω|＝，1－i对应的点在第四象限． ∴ω的辐角主值θ＝. ∴复数ω的三角形式为ω＝(cos ＋isin ). 7．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值为，则实数a＝________. 答案：－1　解析：由于复数z的辐角主值为，故z＝r(cos ＋isin )＝－ir(r>0).又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0，2a＝－r，故a＝－1. 8．将下列复数表示成代数形式： (1)8(cos ＋isin )； (2)2(cos ＋isin )； (3)(cos ＋isin ). 解：(1)8(cos ＋isin )＝8(－－i)＝－4－4i. (2)2(cos ＋isin )＝2(－＋i)＝－＋i. (3)(cos ＋isin )＝(＋i)＝＋i. 9．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示为三角形式． (1)(sin ＋icos )； (2)cos －isin ； (3)sin ＋icos . 解：以上三个复数都不是复数的三角形式．把它们表示为三角形式如下： (1)(sin ＋icos )＝[sin (－)＋icos (－)]＝(cos ＋isin ). (2)cos －isin ＝cos (－)＋isin (－). (3)sin ＋icos ＝sin (＋)＋icos (－)＝cos ＋isin . 10．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(e为自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式， (1)判断复数e2i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由； (2)若eix<0，求cos x的值． 解：(1)复数e2i在复平面内对应的点位于第二象限，理由如下： e2i＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2). 由于<2<π，因此cos 2<0，sin 2>0，∴点(cos 2，sin 2)在第二象限． 故复数e2i在复平面内对应的点位于第二象限． (2)∵eix＝cos x＋isin x<0， ∴eix为负实数(虚数无法比较大小)， ∴cos x<0， sin x＝0， cos2x＋sin2x＝1，解得cos x＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$