8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

立体几何初步 8．3　简单几何体的表面积与体积 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第八章 返回导航 数学 必修 第二册 A 学习目标 1．知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的计算公式． 2．能利用计算公式求几何体的表面积与体积，能用公式解决简单的实际问题． 返回导航 数学 必修 第二册 A 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 观察下列几何体的侧面展开图： 　 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 πr2h 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A B 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 4πR2 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A B 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A D 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A C 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 答案：14π 返回导航 数学 必修 第二册 A 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 A 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 A 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图各是什么图形？ 1．圆柱的表面积公式 S圆柱＝2πrl＋2πr2(r是底面半径，l是母线长). 2．圆锥的表面积公式 S圆锥＝πrl＋πr2(r是底面半径，l是母线长). 3．圆台的表面积公式 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长). 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. [例1] (1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的侧面积． (2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4.若圆台的母线长为10，求圆台的表面积． (1)由题意，圆锥的母线长l＝2，底面半径为1， 所以圆锥的侧面积为π×1×2＝2π. (2)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8. 故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. 求圆柱、圆锥、圆台表面积的基本步骤 (1)先得到旋转体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加． [练1]如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积． 过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB＝5， 底面半径DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π. [练2] 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积． 设圆台的上底面周长为c cm. 由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10， 解得SA＝20 cm. 同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm. 所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2). 故圆台的表面积为1 100π cm2. πh(r′2＋r′r＋r2) 1．V圆柱＝___ (r是底面半径，h是高). 2．V圆锥＝_______ (r是底面半径，h是高). 3．V圆台＝________________________(r′，r分别是上、下底面半径，h是高). πr2h (1)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. (2)求圆台的体积也可转化为求圆锥的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积． [例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π (2)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________． ∶4 (1)设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝， 故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. (2)由题可得两个圆台的高分别为 h甲＝＝(r2－r1)， h乙＝＝2(r2－r1)， 所以＝＝＝＝. 求几何体体积的常用方法 (1)公式法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求解． (2)分割法：将几何体分割成易求体积的几个部分，分别求体积，最后相加． (3)补形法：将几何体补成易求体积的几何体，求得体积后再减去． 注意：求旋转体的体积时，要注意准确作出轴截面，可求出几何体的高和底面积． [练3] 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为(　　) A．(27－) cm3 B．(24＋) cm3 C．(36－) cm3 D．(18＋) cm3 由图可知，组合体的体积为 V＝π×4×[()2－12]＋3×3×3－π×3×()2＝(27－)cm3.故选A. 知识点三　球的表面积和体积 如图是一个可随风摆动的球型移动小屋，这个创意既节省了空间，又使房子与自然高度融合．在设计时工程师根据球的体积和表面积公式，就可给出房子的内部空间和制作材料的多少，从而确定报价． 1．球的体积、表面积公式各是什么？ 2．如何理解球的体积、表面积公式？ 1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝_________. 2．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝________． πR3 [例3] (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为π，求它的表面积． (1)设球的半径为r. 由已知得4πr2＝64π，解得r＝4. 所以球的体积V＝×π×r3＝π. (2)设球的半径为R. 由已知得πR3＝π，所以R＝5， 所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π. 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件求出半径R，然后代入球的体积或表面积公式． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握这两点，球的表面积或体积的相关问题也就迎刃而解了． [练4] 如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为__________． 答案：4∶9　 根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的平方．因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积之比为4∶9. 1．知识清单 (1)圆柱、圆锥、圆台的表面积． (2)圆柱、圆锥、圆台的体积． (3)球的表面积和体积． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：求组合体的表面积和体积时无法准确转化． ◎随堂演练 1．若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于(　　) A．15 B．15π C．24π D．30π 圆锥的侧面积S侧＝πrl＝15π. 2．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　) A．144π，144π B．144π，36π C．36π，144π D．36π，36π 易知球的半径R＝3.所以S表＝4πR2＝36π， V＝πR3＝×27＝36π. 3．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据 (单位：cm)，那么该壶的容量约为(　　) A．155 cm3 B．200 cm3 C．255 cm3 D．300 cm3 方法一　由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4， 则V＝×(42π＋52π＋)×4＝≈255(cm3). 方法二　如图， 设大圆锥的高为h，则＝，解得h＝20， 所以V＝π×52×20－π×42×16＝≈255(cm3). 4．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________． 答案： 由题意可得πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径r为. 5．若圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于________． V＝π(12＋1×2＋22)×6＝14π. $$