课时梯级训练(19) 复数的乘、除运算（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(19)　复数的乘、除运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知z＝－2＋2i，则z(＋2)＝(　　) A．4＋4i B．4－4i C．4 D．－4i A　解析：因为z＝－2＋2i，所以＝－2－2i， 所以z(＋2)＝(－2＋2i)(－2－2i＋2)＝4i－4i2＝4＋4i.故选A. 2．复数z＝的共轭复数是(　　) A．1＋2i B．－1＋2i C.－1－2i D．1－2i B　解析：z＝＝＝＝－1－2i，其共轭复数为－1＋2i. 3．若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　) A． B． C．－ D．－ A　解析：∵z2＝t＋i，∴2＝t－i，∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又z1·2是实数，∴4t－3＝0，∴t＝. 4．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a＝________． 答案：±1　解析：由题意得＝－ai，故z·＝3＋a2＝4，解得a＝±1. 5．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________． 答案：1　解析：＝2－ai＝b＋i，即得∴a＋b＝1. 6．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________. 答案：　解析：因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝. 7．已知复数z＝. (1)求复数z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． 解：(1)z＝＝＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 8．计算：(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2； (2)＋； (3). 解：(1)原式＝(3＋2i－3i＋2)＋(4＋8i－4) ＝(5－i)＋8i＝5＋7i. (2)原式＝＋ ＝＋ ＝(1－)＋(＋1)i－i＝(1－)＋i. (3)原式＝＝＝＝＝2. 9．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　　) A．i B．1－i C．1 D．－1 B　解析：因为复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则，解得a＝1， 所以＝＝＝＝1－i. 10．(多选)设复数z满足＝－i，则下列说法正确的是(　　) A．z为纯虚数 B．在复平面内，对应的点位于第三象限 C．z的虚部为2i D．|z|＝ BD　解析：由＝－i，得z＝＝＝－1＋2i，故z的虚部为2，|z|＝＝，＝－1－2i，则对应的点位于第三象限．故选BD. 11．(多选)已知复数z满足(1－i)z＝2i，则下列关于复数z的结论，正确的是(　　) A．|z|＝ B．复数z的共轭复数为z＝－1＋i C．复平面内表示复数z的点位于第四象限 D．复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根 AD　解析：因为(1－i)z＝2i，所以z＝＝＝－1＋i， 所以|z|＝＝，故A正确； z的共轭复数z＝－1－i，故B错误； 复平面内表示复数z的点的坐标为(－1，1)，位于第二象限，故C错误； ∵(－1＋i)2＋2(－1＋i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0， ∴复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根，故D正确．故选AD. 12．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b等于________． 答案：　解析：因为z＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，所以b＝. 13．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则|z·＋z2 023|＝________． 答案：　解析：依题意，得z＝＝i，所以＝－i，所以z·＝i·(－i)＝1，z2 023＝i2 023＝－i，所以|z·＋z2 023|＝|1－i|＝. 14．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值． 解：z＝＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4.① ∵复数0，z，对应的点构成正三角形， ∴|z－|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化简得a2＝3b2.② 又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0.③ 由①②③得 故所求值为a＝－，b＝－1. 15．欧拉公式eix＝cos x＋isin x把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos x和sin x联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”．若复数z满足(eiπ＋i)·z＝i，则|z|＝(　　) A．1 B． C． D． B　解析：由题意z＝＝＝＝＝＝－i，∴|z|＝＝.故选B. 16．现有以下三个式子：①；②；③(i为虚数单位).某同学在解题时发现以上三个式子的值都等于同一个常数． (1)从三个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据三个式子的结构特征及(1)中的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明此结论． 解：(1)选择①，＝＝＝i. 选择②，＝＝＝i. 选择③，＝＝＝i. (2)根据三个式子的结构特征及(1)中的计算结果，可以得到＝i(a，b∈R，且a，b不同时为零). 证明如下： ＝＝＝＝i. 学科网（北京）股份有限公司 $$