课时梯级训练(17) 复数的几何意义（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(17)　复数的几何意义 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1，3) D．(1，5) B　解析：|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，).故选B. 2．复数z1＝1＋i，z2＝1－i在复平面内对应的点关于(　　) A．实轴对称 B．虚轴对称 C．一、三象限平分线对称 D．二、四象限平分线对称 A　解析：由实部相等，虚部互为相反数得两复数互为共轭复数，故在复平面内对应的点关于实轴对称． 3．在复平面内，若复数对应的点的坐标为(1，2)，则z＝(　　) A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i D　解析：由题意可知＝1＋2i，所以z＝1－2i. 4．(多选)设复数z＝－1－2i，i为虚数单位，则(　　) A．|z|＝ B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为－1＋2i D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上 AC　解析：|z|＝＝，A项正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B项不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C项正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D项不正确．故选AC. 5．若复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________. 答案：(3，＋∞)　解析：∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，∴解得x>3.即x的取值范围是(3，＋∞). 6．若复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________. 答案：5　解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可得a＝5. 7．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝________. 答案：－1＋i　解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0.由|z|＝2知，＝2，解得a＝－1，所以z＝－1＋i. 8．已知复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i. (1)在如图所示的复平面内，作出各复数对应的向量； (2)求各复数的模； (3)求各复数的共轭复数． 解：(1)设复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i对应的向量分别为，，，，，则＝(－1，1)，＝(－3，－4)，＝(4，3)，＝(0，4)，＝(0，－). 如图，在复平面内，作出各复数对应的向量． (2)|－1＋i|＝＝，|－3－4i|＝＝5，|4＋3i|＝＝5，|4i|＝＝4，|－i|＝＝. (3)－1＋i的共轭复数为－1－i， －3－4i的共轭复数为－3＋4i， 4＋3i的共轭复数为4－3i， 4i的共轭复数为－4i， －i的共轭复数为i. 9．已知复数z＝(m－1)＋(m2－m－2)i在复平面内对应点Z. (1)若点Z在虚轴上，求复数z的共轭复数； (2)若点Z在直线y＝2x上，求复数z的模|z|. 解：(1)因为点Z在虚轴上，所以m－1＝0，所以m＝1. 所以z＝－2i.所以复数z的共轭复数＝2i. (2)因为点Z在直线y＝2x上，所以m2－m－2＝2(m－1)， 解得m＝0或m＝3. 所以z＝－1－2i或z＝2＋4i. 所以复数z的模|z|＝或|z|＝2. 10．若复数z满足|z|2－2|z|－15＝0，则z在复平面内对应的点的轨迹图形的面积等于(　　) A．9π B．3π C．25π D．5π C　解析：由|z|2－2|z|－15＝0得|z|＝5(|z|＝－3舍去)，因此复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，5为半径的圆，其面积为25π. 11．(多选)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＋b＝1.下列命题正确的是(　　) A．z不可能为纯虚数 B．若z的共轭复数为，且z＝，则z是实数 C．若z＝|z|，则z是实数 D．|z|可以等于 BC　解析：当a＝0时，b＝1，此时z＝i，为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为，且z＝，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝得a2＋b2＝，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，所以方程无实数解，即|z|不可能等于，D错误．故选BC. 12．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________. 答案：－2＋3i　解析：因为z1＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z2＝－2＋3i. 13．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为A，B.已知A(1，2)，||＝2，|z2|＝，则z2＝________，复数z2在复平面内对应的点在第________象限． 答案：5＋4i或＋i　一　解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，则B(x，y)，由条件得，∴或所以z2＝5＋4i或z2＝＋i.显然复数z2对应的点在第一象限． 14．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系． 解：根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为(，)，(－1，0)，(，－)，则向量，，如图所示． |z1|＝＝1，|z2|＝1，|z3|＝＝1. 在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上． 15．在①z>0，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知复数z＝m2－m－6＋(m2－9)i. (1)若________，求实数m的值； (2)若m为整数，且|z|＝10，求z在复平面内对应点的坐标． 解：(1)若选择①，因为z>0，所以解得m＝－3. 若选择②，因为z的实部与虚部互为相反数， 所以m2－m－6＋m2－9＝0，解得m＝3或m＝－. 若选择③，因为z为纯虚数，所以 解得m＝－2. (2)因为|z|＝10，所以(m2－m－6)2＋(m2－9)2＝100， 所以(m－3)2(2m2＋10m＋13)＝100. 因为m为整数，所以(m－3)2为平方数， 2m2＋10m＋13为奇数． 因为100＝102×1或100＝22×25， 所以验证可得m－3＝－2，即m＝1. 因为m＝1，所以z＝－6－8i，其在复平面内对应点的坐标为(－6，－8). 学科网（北京）股份有限公司 $$