课时梯级训练(15) 余弦定理、正弦定理的综合应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　余弦定理、正弦定理的综合应用 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D．2 C　解析：由解得ab＝4， ∴S△ABC＝ab sin C＝. 2．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　) A．1 B．2 C． D．4 A　解析：设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1. ∵S△ABC＝ab sin C＝＝＝，∴abc＝1. 3．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)， 所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2， 即a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝， 又0<C<π，所以C＝. 4．(2024·崇左高一统考期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积S满足a2－4S＝c2＋b2，则∠A＝(　　) A． B． C． D． D　解析：因为a2－4S＝c2＋b2，所以a2－4×bc sin A＝c2＋b2， 所以－sin A＝，所以－sin A＝cos A， 所以tan A＝－1，又A∈(0，π)，所以A＝.故选D. 5．已知△ABC的面积S＝，∠A＝，则·＝________． 答案：2　解析：S△ABC＝·||·||·sin A，即＝·||·||×，所以||·||＝4.于是·＝||·||·cos A＝4×＝2. 6．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是________． 答案：(0，]　解析：∵＝＝，∴c＝sin C.∴0<c≤. 7．在△ABC中，AB＝，D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________. 答案：　解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°， 所以S△ABD＝××1×sin 30°＝. 又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝. 8. 如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长． 解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理的推论得cos ∠ADC＝ ＝＝－， 因为∠ADC∈(0°，180°)， 所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°. 在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝＝5. 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝8，cos B＝－. (1)求角A； (2)求AC边上的高． 解：(1)在△ABC中，因为cos B＝－，0<B<π， 所以sin B＝＝. 由正弦定理得sinA＝＝. 由题设知<B<π，所以0<A<. 所以A＝. (2)在△ABC中， 因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×(－)＋×＝， 所以AC边上的高为a sin C＝7×＝. 10．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于(　　) A．12 B． C．28 D．6 D　解析：由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，∴sin A＝，∴S△ABC＝bc sin A＝×3×8×＝6. 11．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4 B． C． D．2 A　解析：∵cos ＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×()2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×(－)＝32，∴AB＝＝4.故选A. 12. 已知圆内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，AD＝CD＝4，则四边形ABCD的面积为________． 答案：8　解析：由圆内接四边形对角互补得，A＋C＝π，利用余弦定理， 得62＋42－2×4×6cos C＝22＋42－2×4×2cos (π－C)， ∴cos C＝，0<C<π，∴C＝，A＝， 四边形面积S＝×6×4×sin 60°＋×4×2×sin 120°＝8. 13．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________. 答案：1　解析：如图，AB＝1，BD＝1，BC＝. 设AD＝DC＝x.在△ABD中，cos ∠ADB＝＝； 在△BDC中，cos ∠BDC＝＝. ∵∠ADB与∠BDC互补，∴cos ∠ADB＝－cos ∠BDC， ∴＝－，∴x＝1，∴A＝60°.由＝2R，得R＝1. 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc. (1)求角A； (2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos B cos C的最大值，并指出此时B的值． 解：(1)由余弦定理的推论， 得cos A＝＝＝－. 又∵0<A<π，∴A＝. (2)由(1)得sin A＝.又由正弦定理及a＝， 得S＝bc sin A＝··a sin C＝3sin B sin C， ∴S＋3cos B cos C＝3(sin B sin C＋cos B cos C)＝3cos (B－C). 当B＝C，即B＝＝时， S＋3cos B cos C取最大值，最大值为3. 15．(2023·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分別是a，b，c.已知a＝，b＝2，∠A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin (B－C)的值． 解：(1)由正弦定理可得，＝，即＝，解得sin B＝. (2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即39＝4＋c2－2×2×c×(－)， 解得c＝5或c＝－7(舍去). (3)由正弦定理可得，＝，即＝， 解得sin C＝，而A＝120°， 所以B，C都为锐角，因此cos C＝＝，cos B＝＝， 故sin (B－C)＝sin B cos C－cos B sin C＝×－×＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$