课时梯级训练(14) 余弦定理、正弦定理应用举例（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　余弦定理、正弦定理应用举例 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A，B两船的距离为(　　) A．2 km B．3 km C． km D． km D　解析：由题意可得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°.又AC＝2 km，BC＝ km，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 150°＝13，∴AB＝ km. 2. 如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　　) A．2 km B． km C．2 km D． km D　解析：如图，连接AB，在△ABC中，由已知得AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，故AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝32＋42－2×3×4cos 60°＝13.故AB＝ km.故选D. 3．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝12 m，②B处的仰角60°，③C处的仰角45°，④cos ∠BAC＝，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　) A．10 m B．12 m C．12 m D．12 m D　解析：选①②③⑤，如图所示， 则∠ABO＝60°，∠ACO＝45°.设OA＝x，则OA＝OC＝x，OB＝.在△BOC中，利用余弦定理，BC2＝122＝x2＋()2－2x··，解得x＝12，即OA＝12 m．故选D. 4. 如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30 km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是(　　) A．10 km B．20 km C．10 km D．5 km C　解析：根据题意，可得∠PAB＝∠PBA＝30°，即AB＝30 km，∠APB＝120°， 在△ABP中，利用正弦定理得＝，得PB＝＝10(km)， 则这时船与灯塔的距离是10 km. 5．如图，某工程要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m． 答案：100　解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得＝，解得x＝100. 6．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ＝________. 答案：　解析：根据题意，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，∠ACB＝θ， 根据余弦定理BC2＝400＋100－2×20×10×cos 120°＝700，解得BC＝10海里， 根据正弦定理，＝，解得sin θ＝. 7．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，求中国馆到世博轴其中一端的距离． 解：如图，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆．由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过点C作AB的垂线交AB于点D.在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m． 8. 如图，某货轮在A处看灯塔B在它的北偏东75°处，距离为12 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在它的北偏东120°处，求A，D间的距离． 解：在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， ∴B＝45°. ∴AD＝＝＝24(n mile). 即A与D间的距离为24 n mile. 9．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西方向 km处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解：如图，考点为A，检查开始处为B. 设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km. 在△ABC中，AB＝ km，AC＝1 km，∠ABC＝30°. 由正弦定理，得sin ∠ACB＝·AB＝， ∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)， ∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1 km. 在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°， ∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1 km. ∵×60＝5，∴在BC上需5 min，CD上需5 min. ∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min，该考点才算合格． 10. 如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5 km，BC＝8 km，CD＝3 km，DA＝5 km，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　) A.7 km B．8 km C．9 km D．6 km A　解析：连接AC，在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos (π－D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos D，解得cos D＝－，所以AC＝＝7 km. 11．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h. 答案：1　解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1t2＝.从而|t1－t2|＝＝1(h). 12．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________． 答案：30°　解析：如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m．依据正弦定理可得＝.所以x＝·sin (120°－α).因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长． 13．如图，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km.这时此车距离A城多少千米？ 解：在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理的推论， 得cos ∠BDC＝＝＝－， 所以cos ∠ADC＝，sin ∠ADC＝. 在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°， 则sin ∠ACD＝sin (60°＋∠ADC)＝×＋×＝. 由正弦定理，得＝，解得AD＝×＝15. 这时此车距离A城15 km. 14. 如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度). (1)请你利用准备好的工具(可不全使用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告； 注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式． (2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差原因进行说明． 解：(1)选用测角仪与米尺即可，如图所示． ①选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上； ②在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测得测角仪的高度是h； ③经计算得建筑物的高度AB＝＋h(或＋h). (2)①测量工具问题； ②两次测量时位置的间距差； ③用身高代替测角仪的高度．(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$