课时梯级训练(13) 正弦定理（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　正弦定理 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则角A的可能取值为(　　) A． B． C． D． AD　解析：由正弦定理得sin A＝＝＝. 又A∈(0，π)，a>b，所以A>B，所以A＝或A＝. 2．在非钝角△ABC中，2b sin A＝a，则B为(　　) A． B． C． D． C　解析：由2b sin A＝a可得，2sin B sin A＝sin A，sin A≠0，则sin B＝，且B∈(0，π).又△ABC为非钝角三角形，所以B＝.故选C. 3．在△ABC中，b cos A＝a cos B，则三角形的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 D　解析：由正弦定理＝＝，及b cos A＝a cos B，得sin B cos A＝sin A cos B，即sin (B－A)＝0.又A，B为三角形的内角，所以B＝A.所以该三角形为等腰三角形．故选D. 4．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则(　　) A．a<b sin A B．a≥b sin A C．a sin B＝b sin A D．a sin A＝b sin B BC　解析：在△ABC中，因为0<sin B≤1，所以≥1.由正弦定理得＝，所以a＝，所以a≥b sin A，B项正确，A项错误；同理，a sin B＝b sin A，C项正确，D项错误．故选BC. 5．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________. 答案：2　解析：由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2. 6．在单位圆上有三个点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________. 答案：7　解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7. 7．(2024·黔西南州高一月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，cos C＝，则B＝________． 答案：30°　解析：∵cos C＝>0，∴C为锐角， ∴sin C＝＝， 由正弦定理＝，可得sin B＝＝＝， 又b<c，则B<C，即B为锐角，故B＝30°. 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C. 利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B. 又因为sin A＝cos C， 所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin (C＋45°)＝sin B，故sin (C＋45°)＝sin B. 又角A，B，C是△ABC的内角， 故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去). 所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°. 所以C＝15°. 9．(2024·重庆长寿区高一统考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，b＝2，∠C＝. (1)若a＝3，求c； (2)若c＝，求A. 解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos C， 则c2＝9＋4－2×3×2×＝7，所以c＝. (2)在△ABC中，由正弦定理得，＝， 所以sin B＝＝＝，又因为0＜B＜，所以B＝， 所以A＝π－(B＋C)＝π－(＋)＝. 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2b cos C＝2a－c，则B＝(　　) A． B． C． D． C　解析：∵2b cos C＝2a－c，∴2sin B cos C＝2sin A－sin C＝2sin B cos C＋2sin C cos B－sin C，∴2sin C cos B－sin C＝0.∵C为三角形的内角，sin C≠0，∴cos B＝. ∵B∈(0，π)，∴B＝.故选C. 11．在△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°.若解三角形时有两解，则(　　) A．x>2 B．x<2 C．2<x<2 D．2<x≤2 C　解析：根据题意作图，如图所示， 当x的值确定以后，以C为圆心，2为半径的圆与c边的交点即为顶点A的位置．由图可知，两种临界条件分别为： (1)圆与c边所在直线相切，此时∠CAB＝90°，三角形只有一个解，此时根据正弦定理＝，可得x＝2； (2)圆过点B时，∠CAB＝45°，三角形只有一个解，此时x＝2.所以当2<x<2时，三角形有两个解，所以x的取值范围为2<x<2.故选C. 12．在△ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角的正切值为________． 答案：2＋　解析：不妨设a为最大边，c为最小边， 由题意有＝＝，即＝， 整理得(3－)sin A＝(3＋)cos A．∴tan A＝2＋. 13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B＋b cos A＝2c cos C. (1)求角C； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 解：(1)因为a cos B＋b cos A＝2c cos C， 所以由正弦定理得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C. 即sin (A＋B)＝2sin C cos C. 因为A＋B＝π－C， 所以sin (A＋B)＝sin C＝2sin C cos C. 因为0<C<π，所以sin C≠0， 所以cos C＝， 可得C＝. (2)由(1)知C＝，所以A＝－B. 因为△ABC为锐角三角形， 所以0<B<且0<－B<，所以<B<. 由正弦定理得＝＝＝＝＋. 因为<B<，所以tan B>， 所以∈(，2). 14．在△ABC中，a＝，∠A＝，试求△ABC的周长的取值范围． 解：由正弦定理，得＝＝， 即＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C， ∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C ＝＋2sin B＋2sin (－B) ＝＋3sin B＋cos B＝＋2sin (B＋). 又B∈(0，)， ∴B＋∈(，)， ∴sin (B＋)∈(，1]， ∴L∈(2，3]. 即△ABC的周长的取值范围为(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$