课时梯级训练(12) 余弦定理（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　余弦定理 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝3，b＝2，cos C＝，则c等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：因为a＝3，b＝2，cos C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×＝9，所以c＝3.故选B. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝4，c＝3，则B＋C等于(　　) A． B． C． D． B　解析：在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝， 而0<A<π，则A＝，所以B＋C＝π－A＝. 3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 D　解析：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D. 4．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　) A．sin (B＋C)＝sin A B．cos (B＋C)＝cos A C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形 AC　解析：依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A项正确；cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，B项不正确；若a2＋b2＝c2，则C＝，则△ABC为直角三角形，C项正确；若a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，△ABC为钝角三角形，D项不正确．故选AC. 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝C，2b＝a，则cos A＝________． 答案：　解析：由B＝C，2b＝a，可得b＝c＝a，所以cos A＝＝＝. 6．我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地．若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为________． 答案：2　解析：设“圭田”的底边长为x，则由余弦定理可得x2＝42＋42－2×4×4×＝8，解得x＝2或x＝－2(舍去)，即该“圭田”的底边长为2. 7．在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为________. 答案：等腰三角形　解析：∵a＝2b cos C＝2b·＝， ∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等腰三角形． 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝3c，试判断△ABC的形状． 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A. 又因为cos A＝，b＝3c， 所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×＝b2－c2. 所以a2＋c2＝b2，所以B＝， 所以△ABC是直角三角形． 9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos (A＋B)＝1.求： (1)C的度数； (2)AB的长度． 解：(1)cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－.又0°<C<180°，所以C＝120°. (2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根， 所以所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝b2＋a2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10. 所以AB＝. 10．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　) A.19 B．14 C．－18 D．－19 D　解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，得a＝5，b＝6，c＝7.∴·＝||·||·cos (π－B)＝－ac cos B．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19，∴·＝－19. 11．(2024·广元高一期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＋＝，cos A的最小值为(　　) A． B． C． D． D　解析：∵＋＝，化简得a＝， cos A＝＝ ＝≥＝， 当且仅当b＝c时等号成立．故选D. 12．已知锐角三角形ABC的边长分别为x，，x＋1，则实数x的取值范围为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(，2) D．(2，5) A　解析：因为锐角三角形ABC的边长分别为x，，x＋1， 所以解得1＜x＜2. 13．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则角B的取值范围是________． 答案：(0，]　解析：cos B＝＝＝＋≥.∵0<B<π，∴B∈(0，]. 14. 如图，在△ABC中，sin ＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，求cos ∠ACB的值． 解：因为sin ＝，所以cos ∠ABC＝1－2sin2＝1－2×()2＝1－2×＝. 在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b， 由余弦定理可得9b2＝a2＋4－a.　① 在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得 cos∠ADB＝，cos ∠BDC＝. 因为cos ∠ADB＝－cos ∠BDC， 所以＝－， 所以3b2－a2＝－6.　② 由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3，AC＝3， 所以cos ∠ACB＝＝＝. 15．如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度组成新三角形，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 A　解析：设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2.三边都增加x(x>0)，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$