课时梯级训练(11) 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例

课时梯级训练(11)　平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． B　解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B. 2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) D　解析：由物理学知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2). 3．(2024·重庆高一联考)在△ABC中，若2＝·，则△ABC一定为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 B　解析：由2＝·得，2－·＝·(－)＝·＝0， ∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．故选B. 4．若＝2e1，＝－3e1，||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．等腰梯形 D．菱形 C　解析：因为＝－，所以∥ 且||≠||，所以四边形ABCD是梯形．又因为||＝||，即梯形的两腰相等，所以四边形ABCD是等腰梯形．故选C. 5．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间为________． 答案：3　解析：设所用时间为t，则＝tv，即(3，6)＝t(1，2)，所以t＝3. 6．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为________． 答案：10　解析：∵·＝0，∴⊥，即AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝10. 7．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________. 答案：1　解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0).设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a).因为AC⊥BC，所以⊥. 所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)，即AD＝1. 8.如图，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4). 又位移s＝(4，4)， 故合力F所做的功为 W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J). 即合力F所做的功为24 J． 9．(2024·宜春高一月考)设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点． (1)试用向量证明：PQ∥AB； (2)若AB＝3CD，求PQ∶AB的值． (1)证明：∵Q为BD的中点，∴＋＝2， 又P为AC的中点，∴＝2； ∴2＝2－2＝(＋)－＝＋＋＝＋， 又向量与共线， 设向量＝λ，则2＝(1＋λ)，∴＝①， 又梯形ABCD中，||≠||，∴λ≠－1，∴∥，即PQ∥AB. (2)解：∵向量与方向反向，且||＝3||； 所以＝－3，即λ＝－代入①式，得＝＝， ∴PQ∶AB＝1∶3. 10．一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝(　　) A．6 B．2 C．2 D．2 D　解析：∵物体处于平衡状态，∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)， ∴|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 11. 如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ B　解析：＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－. 12. 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图所示，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________． 答案：10 N　解析：因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，即2|F|cos 60°＝10，|F|＝10，故每根绳子的拉力大小都是10 N． 13．在△ABC中，若∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则||＝________． 答案：　解析：由题意可得＝＋＝＋＝＋＝＋， 所以||2＝2＝＋||·||cos ＋1＝，所以||＝. 14．如图，O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上． 证明：设＝m，＝n.由＝＝， 知E，F分别是CD，AB的三等分点， ∴＝＋＝＋ ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋ ＝(m＋n)－m＝m＋n. ∴＝. 又O为和的公共点， 故点E，O，F在同一直线上． 15. 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cos θ＝，0°<θ<90°)方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前侵袭半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos (θ－45°)＝. 解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. ∵＝＋， ∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝2＋2－2||||cos (θ－45°)＝3002＋(20t)2－2×300×20t×＝100(4t2－96t＋900). 依题意得2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24. 综上所述，12 h后该城市开始受到台风的侵袭． 学科网（北京）股份有限公司 $$