课时梯级训练(10) 平面向量数量积的坐标表示（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　平面向量数量积的坐标表示 1．(多选)设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则(　　) A．|a|＝b2 B．a·b＝0 C．a∥b D．(a－b)⊥b AD　解析：|a|＝b2＝2，故A项正确；a·b＝2，故B项错误；2×1－1×0＝2≠0，故C项错误；a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b，故D项正确． 2．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 A　解析：由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥，所以∠BAC＝90°.故△ABC是直角三角形． 3．设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(3，y)，c＝(1，－1)，且a⊥c，b∥c，则|a＋2b|＝(　　) A．3 B．4 C．80 D．4 D　解析：由a⊥c得a·c＝x－2＝0，解得x＝2；由b∥c得＝，解得y＝－3. 故a＝(2，2)，b＝(3，－3)，则a＋2b＝(8，－4)，即|a＋2b|＝＝4. 4．(2024·保定高一期中)已知点A(－2，3)，B(－1，1)，向量a＝(2，7)，b＝(5，7)，则与a－b的夹角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C． D． A　解析：因为点A(－2，3)，B(－1，1)，向量a＝(2，7)，b＝(5，7)， 所以＝(1，－2)，a－b＝(－3，0)， 所以与a－b的夹角的余弦值cos 〈，a－b〉＝＝＝－. 故选A. 5．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________． 答案：4　解析：∵a＋2b＝(1，5)，∴a·(a＋2b)＝4. 6．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2).若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________． 答案：8　解析：易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8. 7．△ABC为等腰直角三角形，OC为斜边AB上的高，O为垂足，OA＝1，P为线段OC的中点，则·＝________． 答案：　解析：如图，分别以边CB，CA所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 根据条件知CA＝CB＝，∴A(0，)，B(，0)，O(，)，P(，)，∴＝(，－)， ＝(－，－)，∴·＝－＋＝. 8．已知a＝(1，2)，b＝(1，－1). (1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； (2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值． 解：(1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)， 所以2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3). 所以cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)ka－b＝(k－1，2k＋1)， 依题意(3，3)·(k－1，2k＋1)＝0， 所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0. 9．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4). 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的两条对角线的长分别为2，4. (2)由题设知，＝(－2，－1)， －t＝(3＋2t，5＋t). 由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－. 10．(多选)已知a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，－5)，则(　　) A．(a＋2b)⊥c B．(a＋2b)∥c C．|a＋c|＝2 D．|a＋c|＝2|b| BD　解析：由a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，－5)，可得a＋2b＝(－3，5)，(a＋2b)·c＝－3×3＋5×(－5)≠0，故(a＋2b)与c不垂直，A项不正确；a＋2b＝(－3，5)＝－c，即(a＋2b)∥c，B项正确；a＋c＝(4，－2)，有|a＋c|＝≠2，C项不正确；|b|＝＝，由选项C知|a＋c|＝2，|a＋c|＝2|b|，D项正确．故选BD. 11．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb.若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 C　解析：由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝(3＋t)×1＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5.故选C. 12．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 B　解析：方法一　以{，}为基底向量，可知||＝||＝2，·＝0， 则＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝(＋)·(－＋)＝－2＋2＝－1＋4＝3. 方法二　如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得＝(1，2)，＝(－1，2)，所以·＝－1＋4＝3. 方法三　由题意可得ED＝EC＝，CD＝2， 在△CDE中，由余弦定理可得cos ∠DEC＝＝＝， 所以·＝||||cos ∠DEC＝××＝3. 13．已知等腰直角三角形ABC的斜边BC＝8，P为三角形ABC所在平面内任意一点，则·(＋)的最小值为________． 答案：－8　解析：以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ∵△ABC为等腰直角三角形，BC＝8，∴AO＝BO＝CO＝4，故B(－4，0)，A(0，4)，C(4，0).设P(x，y)，则＝(－x，4－y)，＝(－4－x，－y)，＝(4－x，－y)，∴＋＝(－4－x，－y)＋(4－x，－y)＝(－2x，－2y)，∴·(＋)＝2x2－2y(4－y)＝2x2＋2y2－8y＝2x2＋2(y－2)2－8. 当x＝0，y＝2时，·(＋)的最小值为－8. 14．已知向量a＝(，－1)，b＝(，). (1)求证：a⊥b； (2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系；如果不存在，请说明理由． (1)证明：因为a·b＝(，－1)·(，)＝－＝0，所以a⊥b. (2)解：假设存在非零实数k，t使x⊥y， 则[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， 整理得－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0. 又a·b＝0，a2＝4，b2＝1， 所以－4k＋t(t2－3)＝0，即k＝(t3－3t)(t≠0)， 故存在非零实数k，t，使x⊥y成立， 其关系式为k＝(t3－3t)(t≠0且t≠±). 15．求函数z＝＋(b，c∈R)的最小值． 解：构造向量a＝(x，b－y)，b＝(c－x，y)，则z＝|a|＋|b|，且a＋b＝(c，b). 又|a|＋|b|≥|a＋b|＝，即z＝|a|＋|b|≥，当且仅当a，b共线且同向时等号成立， 即＝＝k>0， 故当x＝，y＝且k>0时，zmin＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$