课时梯级训练(9) 平面向量数乘运算的坐标表示（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　平面向量数乘运算的坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(　　) A．(1，－2) B．(9，3) C．(－2，4) D．(－4，－8) D　解析：由题意，得＝(1，2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0).符合条件的只有D项．故选D. 2．已知向量a＝(－1，4)，b＝(3，－2λ).若a∥(2a＋b)，则λ＝(　　) A．－1 B．6 C．－6 D．2 B　解析：向量a＝(－1，4)，b＝(3，－2λ)，则2a＋b＝(1，8－2λ).由a∥(2a＋b)，得4＝－8＋2λ，解得λ＝6.故选B. 3．若A(1，m)，B(m＋1，3)，C(1－m，7)三点共线，则m＝(　　) A．－5 B．5 C．0或－5 D．0或5 D　解析：因为＝(m，3－m)，＝(－2m，4)， 若A(1，m)，B(m＋1，3)，C(1－m，7)三点共线，则∥， 所以4m＝－2m(3－m)，解得m＝0或m＝5. 4．若A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上，则下列式子一定正确的是(　　) A．2m－n＝3 B．n－m＝1 C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3 A　解析：因为A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上，所以存在实数λ使得＝λ，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以λ＝，所以m－3＝(n－3)，即2m－n＝3. 5．已知向量a＝(8，－2)，b＝(m，1)，c＝(4，2)，若a＋b＝λc，则实数m＝________． 答案：－10　解析：a＋b＝(8＋m，－1)，λc＝(4λ，2λ).∵a＋b＝λc， ∴∴8＋m＝－2，m＝－10. 6．已知向量a＝(2sin θ，cos θ)，b＝(1，1).若a∥b，则tan θ＝________． 答案：　解析：向量a＝(2sin θ，cos θ)，b＝(1，1)，若a∥b，则2sin θ－cos θ＝0，所以cos θ＝2sin θ，则tan θ＝＝＝. 7．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，则点M的坐标为________． 答案：(0，20)　解析：由题意得＝(－2＋3，4＋4)＝(1，8)，所以＝3＝(3，24). 设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)＝(3，24)， 所以，解得，故点M的坐标为(0，20). 8．已知a＝，B点坐标为(1，0)，b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标． 解：∵b＝(－3，4)，c＝(－1，1)， ∴a＝3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10). 又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)， 则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)， ∴解得 ∴A点坐标为(8，－10). 9．已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x). (1)求实数x，使向量，共线； (2)当∥ 时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？ 解：(1)＝(x，1)，＝(4，x).因为，共线， 所以x2－4＝0，解得x＝±2. 即当x＝±2时，向量，共线． (2)当x＝－2时，＝(6，－3). 因为＝(－2，1)，所以＝－3， 则∥ ，此时A，B，C三点共线． 又∥ ，从而当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上． 当x＝2时，＝(2，1)，＝(－2，1)，与不平行，故A，B，C，D四点不共线． 10．(多选)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，则(　　) A．a∥b B．a与b可以作为基底 C．a＋b＝0 D．b－a与a方向相同 AC　解析：由题意，向量a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，可得1×2－(－2)×(－1)＝0，所以a∥b，所以A项正确，B项错误；又a＋b＝(1－1，－2＋2)＝(0，0)＝0，所以C项正确；因为b－a＝(－2，4)，所以b－a＝－2a，所以b－a与a方向相反，所以D项错误．故选AC. 11．已知向量a＝(－6，1)，b＝(7，－2)，且(a＋mb)∥(3a－b)，则m等于(　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：∵向量a＝(－6，1)，b＝(7，－2)， ∴a＋mb＝(－6＋7m，1－2m)，3a－b＝(－25，5). ∵(a＋mb)∥(3a－b)， ∴5(－6＋7m)－(－25)×(1－2m)＝0， 解得m＝－. 12．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2，5，则点C的纵坐标为________． 答案：10　解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2，5，∴2－5＝－(y－2)，∴y＝10. 13．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7，9)，则向量＝________. 答案：(－，)　解析：设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n，2n＋m)＝(7，9)，即解得因此＝(－，). 14. 如图，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD的交点P的坐标． 解：设P(x，y)，则＝(x－1，y)， ＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)， 由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ). 又∵＝－＝(5λ－4，4λ)， 与共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0， 解得λ＝， ∴＝＝(，)， ∴点P的坐标为(，). 学科网（北京）股份有限公司 $$