课时梯级训练(8) 平面向量的正交分解及坐标表示（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(8)　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)下面说法正确的有(　　) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应 ABD　解析：由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C项错误，其余选项均正确． 2．已知点A(4，1)，B(7，－3)，若＋＝0，则点C的坐标是(　　) A．(1，5) B．(－3，4) C．(－1，－5) D．(4，－3) A　解析：设C(x，y)，则＝(x－4，y－1). 又＝(7，－3)－(4，1)＝(3，－4)，＋＝0， ∴(3，－4)＋(x－4，y－1)＝(0，0)， ∴∴∴C(1，5). 3．已知两个力F1＝(1，2)，F2＝(－2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加一个力F3，则F3＝(　　) A．(1，－5) B．(－1，5) C．(5，－1) D．(－5，1) A　解析：根据力的合成可知F1＋F2＝(1－2，2＋3)＝(－1，5).物体保持静止即合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝(1，－5). 4．设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j.若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________． 答案：(1，－2)　解析：易知i＝(1，0)，j＝(0，1)，则a＝(1，－2). 5．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，且A(1，3)，B(2，4)，则x＝________． 答案：1　解析：∵＝(2，4)－(1，3)＝(1，1)，＝a， ∴解得x＝1. 6．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________. 答案：(－3，3)　解析：设点A(x，y)，则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3， 即A(－3，3)，所以＝(－3，3). 7.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 解：由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴． 因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4，3).又＝＋＝－＋，所以＝－4i＋3j，所以＝(－4，3). 8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).若＋＋＝0，求的坐标． 解：设点P的坐标为(x，y)， 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)＝(0，0)， 所以解得所以点P的坐标为(2，2).故＝(2，2). 9．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(　　) A．(2，4) B．(3，5) C.(1，1) D．(－1，－1) C　解析：由平行四边形法则，得＋＝， ∴＝－＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)， ∴＝(1，1). 10．已知A(7，2)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝，则实数a的值为(　　) A．2 B．1 C． D． C　解析：设C(m，n)，则＝(m－7，n－2)，＝(1－m，4－n).又＝，所以解得m＝4，n＝3，所以C(4，3).代入y＝ax得3＝2a，所以a＝. 11．已知向量＝(5，12)，将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，则＝________． 答案：(－12，5)　解析：向量＝(5，12)，将绕原点按逆时针方向旋转90°得到(图略)，则点B的坐标为(－12，5)，所以＝(－12，5). 12．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为________． 答案：(7，－6)　解析：设D(x，y)，由＝，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴点D的坐标为(7，－6). 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 解：(1)如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， ∴A(2，2)，故a＝(2，2). ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又OC＝AB＝3，∴C(－，)， ∴＝＝(－，)，即b＝(－，). (2)＝－＝(，－). (3)＝＋＝(2，2)＋(－，)＝(2－，2＋)， 即点B的坐标为(2－，2＋). 14．小顾同学在用向量法研究三角形面积的问题时，有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|.试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝________． 答案：1　解析：因为A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)， 所以＝(1，2)，＝(3，4)， 所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$