课时梯级训练(7) 平面向量基本定理（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(7)　平面向量基本定理 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)已知{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列向量能作为基底的向量是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－e2和－6e1＋4e2 C．e1＋e2和e2＋e1 D．e2和e2＋e1 ABD　解析：e1＋e2和e1－e2不共线，可作为基底；3e1－e2和－6e1＋4e2不共线，可作为基底；e1＋e2＝e2＋e1，不能作为基底；e2和e2＋e1不共线，可作为基底．故选ABD. 2．(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(　　) A．若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 AB　解析：A正确；B正确，平面内的任一向量都可以用基底表示；C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对． 3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n B　解析：因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 4．如图，在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，N为OB的中点．设＝a，＝b，若用a，b表示向量，则＝________． 答案：a＋b　解析：以＝a，＝b作为以A为公共起点的一个基底，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 5．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2.若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可以表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝_______，μ＝_______． 答案：　－　解析：由条件可知解得 6．在△ABC中，＝λ，且＝＋，则λ＝________． 答案：3　解析：∵＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，∴＝＝－，∴3＝，即λ＝3. 7．在△ABC中，点D满足＝4，若＝x＋y，则x－y＝________． 答案：－　解析：因为＝4，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因为＝x＋y，所以x＝，y＝，所以x－y＝－＝－. 8.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示； (2)求·的值． 解：(1)∵D是边BC上一点，DC＝2BD， ∴＝.又＝a，＝b，∴＝b－a， ∴＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b. (2)∵|a|＝||＝，|b|＝||＝1，∠BAC＝120°， ∴a·b＝|a||b|cos ∠BAC＝－， ∴·＝(a＋b)·(b－a)＝b2＋a·b－a2＝－. 9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)求证：a，b可以作为一组基底； (2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． (1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1，e2不共线，得解得 ∴λ不存在．故a与b不共线，可以作为基底． (2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∵e1与e2不共线，∴ ∴∴c＝2a＋b. (3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb， 得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴∴ 故所求λ，μ的值分别为3和1. 10．如图，平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A．1 B． C． D．2 B　解析：因为平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，所以＝＝2，所以＝＝(＋).又＝x＋y，所以x＝y＝，x＋y＝.故选B. 11．(多选)在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，CM与BN相交于点P.若＝＋，则(　　) A．＝ B．＝2 C．＝ D．＝ AC　解析：如图，设＝m，＝n.由＝＋，可得＝＋，＝＋.因为C，P，M共线，所以＋＝1，解得m＝.因为N，P，B共线，所以＋＝1，解得n＝.故＝，＝，即＝，＝.故选AC. 12．(2024·沧州高一期末)在△ABC中，P是BC上一点，若＝2，＝λ＋μ，则＝________． 答案：　解析：在△ABC中，＝2， 则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 又＝λ＋μ，且，不共线，则λ＝，μ＝，所以＝. 13．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上．若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝________． 答案：4　解析：如图， ＝3e2，＝e1，所以a＝＋＝e1＋3e2.因为a＝λe1＋μe2，所以λ＝1，μ＝3，即λ＋μ＝4. 14．(2024·大连高一月考)如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M.设＝a，＝b. (1)试用基底{a，b}表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若＝λ，＝μ，求＋的值． 解：(1)因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设＝s，＝t， 则＝s＋(1－s)＝s＋，＝t＋(1－t)＝＋(1－t)， 所以，解得， 所以＝a＋b. (2)因为E，M，F三点共线，所以设＝k， 则＝k＋(1－k)，由(1)知＝a＋b＝ ＋ ， 所以＋＝1，所以＋＝7. 15.如图，在△ABC中，D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A． B．2 C． D． D　解析：设＝m＋n，＝λ＋μ，其中m，n，λ，μ为实数．∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1. ∵＋＝x＋y，∴x＋y＝2，∴＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，∴＋的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$