课时梯级训练(6) 向量数量积的运算律（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(6)　向量数量积的运算律 1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　) A． B． C．3 D．5 C　解析：由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3. 2．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 C　解析：由|a－2b|＝3，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1.故选C. 3．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝(　　) A． B．7 C．3 D．2 A　解析：因为a·b＝|a||b|cos 60°＝1×2×＝1， 所以|a＋b|＝＝＝. 4．(多选)已知单位向量a，b，则使(a＋kb)⊥(ka－b)成立的充分条件是(　　) A．k＝－1 B．k＝－2 C．a⊥b D．a∥b AC　解析：因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1， 若(a＋kb)⊥(ka－b)，则(a＋kb)·(ka－b)＝ka2－kb2＋(k2－1)a·b＝0， 即k|a|2－k|b|2＋(k2－1)a·b＝0，即(k2－1)a·b＝0， 所以k2－1＝0或a·b＝0，则k＝±1或a⊥b， 故使(a＋kb)⊥(ka－b)成立的充分条件可以是k＝－1，a⊥b.故选AC. 5．已知向量a与b的夹角为，且|a|＝2|b|＝2，则a·b＝________． 答案：　解析：由|a|＝2|b|＝2，则|a|＝2，|b|＝1， 又a与b的夹角为，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2×1×＝. 6．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________． 答案：　解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos 45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝. 7．若向量a，b，c满足a∥b，a⊥c，求c·(a＋2b)的值． 解：∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，∴c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 8．已知向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2. (1)求a·b的值； (2)若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值． 解：(1)a·b＝|a||b|cos ＝1×2×(－)＝－1. (2)因为2a－b和ta＋b垂直，所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，整理得2t|a|2＋(2－t)a·b－|b|2＝0，即2t－(2－t)－4＝0，解得t＝2. 9．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°. (1)求|2a＋b|； (2)求a与2a＋b的夹角的余弦值． 解：(1)由已知可得a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×(－)＝－4， 所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝64－16＋4＝52，所以|2a＋b|＝＝2. (2)因为a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2|a|2＋a·b＝32－4＝28， 所以cos 〈a，2a＋b〉＝＝＝. 10．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则(　　) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 CD　解析：分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B项错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A项错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C项正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D项正确． 11．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝2，则·＝(　　) A．2 B．4 C．3 D． B　解析：根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·＝(＋)·＝·＋·.由AD⊥AB，可知·＝0，又因为＝，||＝2，所以·＝·＝||·||·cos ∠ADB＝×2×||×＝4.故选B. 12．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 答案：　解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，解得2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10.故|2α＋β|＝. 13．如图，在圆C中弦AB的长度为6，则·＝________． 答案：18　解析：如图，取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB.∵在圆C中弦AB的长度为6， ∴·＝(＋)·＝·＋·＝2＝×6×6＝18. 14．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb. (1)当|u|取最小值时，求实数t的值； (2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？ 解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2(t＋)2＋|a|2－. ∵b是非零向量，∴|b|≠0， ∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小． (2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋(－·|b|2)＝a·b－a·b＝0， ∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u. 15．若O为△ABC的内心，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 A　解析：－＝＝－，＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以由(－)·(＋－2)＝0，得(－)·(＋)＝0，即2＝2，所以||＝||，故△ABC为等腰三角形． 16．已知向量a≠b，|b|≠0，若对任意的t∈R，|a－tb|≥|a－b|恒成立，则必有(　　) A．a⊥b B．a⊥(a－b) C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b) C　解析：|a－tb|≥|a－b|恒成立， 两边平方，化简得b2t2－2a·bt＋2a·b－b2≥0对任意的t∈R恒成立． 又|b|≠0，则Δ＝4(a·b)2－4b2(2a·b－b2)≤0， 即(a·b－b2)2≤0， 所以a·b－b2＝0，所以b·(a－b)＝0， 即b⊥(a－b). 学科网（北京）股份有限公司 $$