课时梯级训练(5) 向量的数量积（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(5)　向量的数量积 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(　　) A．－3 B．－6 C．6 D．2 B　解析：因为|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，所以a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×(－)＝－6.故选B. 2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A．直角梯形 　B．菱形 C．矩形 D．正方形 C　解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC∥AD且BC＝AD，所以四边形ABCD是矩形． 3．以下命题正确的是(　　) A．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0 B．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 C．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 D．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° C　解析：因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2，故C项正确；当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然A项，B项错误；根据两个向量夹角的概念，，的夹角应为120°. 4．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝∠ABC＝60°，则下列各组向量夹角为60°的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 B　解析：由题意可得与的夹角为180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，A项不符合；如图，作DE∥CB，交AB于点E，则∠ADE＝60°，故与的夹角为∠ADE＝60°，B项符合；由于∥ ，故与的夹角等于与的夹角，即为180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，C项不符合；与的夹角为∠ADC＝180°－60°＝120°，D项不符合．故选B. 5．若向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b上的投影向量的模为(　　) A．5 B．－5 C．－5 D．5 D　解析：由题意得，所求投影向量为|a|cos 150°·，所以所求投影向量的模为|a||cos 150°|＝10×＝5.故选D. 6．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________． 答案：－e　解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×(－)e＝－e. 7．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，求向量a与c的夹角． 解：由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°. 8．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°.求： (1)a·b； (2)a在b上的投影向量的模． 解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝－1. (2)因为|a|cos 120°＝－， 所以a在b上的投影向量的模为. 9．已知|a|＝5，b在a上的投影的数量为6，而c在a上的投影的数量为－8，求b·a，c·a. 解：∵b在a上的投影的数量为6，∴|b|cos 〈b，a〉＝6， ∴b·a＝|b||a|cos 〈b，a〉＝5×6＝30. ∵c在a上的投影的数量为－8， ∴|c|cos 〈c，a〉＝－8. ∴c·a＝|c||a|cos 〈c，a〉＝－40. 10．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　) A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 B　解析：因为＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形． 11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角．若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 A　解析：cos θ＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A. 12．在梯形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，AD∥BC，且·＝－，则AD的长度为________. 答案：1　解析：梯形ABCD中，因为∠B＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°，即向量与向量的夹角为120°.又AB＝3，所以·＝||||cos 120°＝||×3×(－)＝－，所以||＝1. 13．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，记＝a，从A，B，C，D，E，F这六个点中任取两点作为b的起点和终点，则a·b的最大值为________． 答案：2　解析：由于a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为a与b的夹角，|a|是定值，要使a·b最大，只需|b|及cos θ最大即可．当cos θ最大时取cos θ＝1，此时θ＝0°，即a∥b且a与b同向．要使|b|最大又要使a∥b且a与b同向，则b＝，此时(a·b)max＝|a||b|cos θ＝1×2×cos 0°＝2. 14．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角． 解：如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°， 以，为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形． 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°， 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 15．如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量； (2)求·的取值范围． 解：(1)由已知可得＝.如图，连接MA，MB， 易知四边形OAMB是菱形，所以＝＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)易知∠DMC＝60°，且||＝||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则(·)min＝××cos 60°＝. 当MC与MO(或MA)重合时，MC最大，此时MC＝1， 则(·)max＝cos 60°＝. 所以·的取值范围为[，]. 学科网（北京）股份有限公司 $$