课时梯级训练(1) 平面向量的概念（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

课时梯级训练(1)　平面向量的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任意向量平行 D．零向量的方向是任意的 ACD　解析：零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以ACD正确，B错误． 2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 C　解析：速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小． 3．如图，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 B　解析：向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量． 4．(多选)下列条件中，能使a∥b成立的有(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0 ACD　解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b. 5．如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是：此人从A点沿西偏南________的方向行走了________ km. 答案：60°　2 6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________. 答案：0　解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线． 又m与，都共线，∴m＝0. 7.如图，在方格纸中，取两个格子的格点(A，B，C，D，E，F)为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量： (1)与相等的向量； (2)与方向相反的向量； (3)与的模相等的向量． 解：(1)方向相同且模相等的向量为相等向量，故与相等的向量为，. (2)与方向相反的向量为，. (3)与的模相等的向量为，，. 8．在如图所示的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a； (2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点形成的图形是什么． 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略). (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点形成的图形是以A为圆心，半径为的圆(作图略). 9．(多选)如图，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是(　　) A．＝ B．||＝|| C．> D．∥ BD　解析：与显然方向不相同，故不是相等向量，A项错误；||与||表示等腰梯形两腰的长度，故||＝||，B项正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，C项错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥ ，D项正确．故选BD. 10．已知a，b为非零向量，“a＝b”是“|a|＝|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：充分性：若a＝b，则a，b方向相同且|a|＝|b|，充分性成立．必要性：若|a|＝|b|，但a，b的方向不一定相同，即a，b不一定相等，必要性不成立．因此，“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要条件． 11．如图从点A出发绕阴影部分走一圈，可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________． 答案：a，e，d，c，b　解析：若按，，，，的方向行走，由于相同的向量的长度相等，方向相同，所以与这5个向量相等的向量依次为a，e，d，c，b.若按，，，，的方向行走，与题图中提供的向量方向不同，不符合题意．所以正确的顺序为a，e，d，c，b. 12．已知飞机从A地朝北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地朝南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地朝西南方向飞行1 000 km到达D地．问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：以点A为原点建立平面直角坐标系，作出向量，，，，如图所示． 由图知，D地在A地的东南方向，D地距A地1 000 km. 13．如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝. 证明：∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴CB＝DA. 又＝，∴CN＝MA且CN∥MA， ∴四边形CNAM是平行四边形， ∴CM＝NA，CM∥NA. 又CB＝DA，∴MB＝DN. 又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同， ∴＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$