5.3.4 频率与概率（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5.3.4　 频率与概率 课程标准 学科素养 1.结合实例，会用频率估计概率． 2．理解频率与概率的区别与联系． 3．能用概率的意义解释生活中的事例． 通过学习频率与概率的关系，加强数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养． [对应学生用书P70] 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为．不难看出此时也有0≤P(A)≤1. 这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率． 1．下列说法正确的是(　　) A．任何事件的概率总在(0，1)内 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．概率是随机的，在试验前不能确定 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D　解析：任何事件的概率总在[0，1]内，频率与试验次数有关，C中概率是客观存在的，故A、B、C都不正确． 2．从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492　496　494　495　498　497　501　502　504　496 497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5 g之间的概率约为________． 0．25　解析：样本中白糖质量在497.5～501.5 g之间的有5袋，所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5 g之间的频率为＝0.25，则概率约为0.25. [对应学生用书P71] 下列说法： (1)一个人打靶，打了10发子弹，有7发中靶．因此这个人中靶的概率为0.7 . (2)随机事件的频率与概率一定不相等． (3)在条件不变的情况下，随机事件的概率不变． (4)在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的． (5)任何事件都有概率． 其中正确的是________．(填序号) (3)(5)　解析：因为试验次数较少，此事件中靶的频率为0.7，它不能说是概率．所以(1)错；(2)在大量重复试验的情况下，频率稳定在某一常数附近，这时频率与概率相等，所以(2)错；(3)概率是一个稳定值，不随试验次数的变化而变化，因此，在条件不变的情况下，概率不变，所以(3)正确；(4)频率随着试验的次数发生变化，但在一次试验结束后，频率是不变的，所以(4)错误；(5)事件包括必然事件，不可能事件，随机事件，它们都有概率，所以(5)正确． 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率 [训练1]　给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题为________．(填序号) ④　解析：①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的，所以任取200件，不一定有10件是次品．②③混淆了频率与概率的区别．④正确． 某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数，如下表： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数(m) 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率() 乙击中10环的次数(m) 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率() (1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率； (2)根据(1)中的数据预测两名运动员在奥运会上击中10环的概率． 解：(1)两名运动员击中10环的频率如下表： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数(m) 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率() 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 乙击中10环的次数(m) 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率() 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 (2)由(1)中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以预测两人在奥运会上击中10环的概率均约为0.9，也就是说甲、乙两人的实力相当． 概率实际上是频率的科学抽象，是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关．求某事件的概率，可以通过求该事件的频率来解 [训练2]　某质检员从一大批种子中抽取若干组种子，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 25 70 130 700 2 000 3 000 发芽粒数 24 60 116 639 1 806 2 713 发芽频率 (1)计算各组种子的发芽频率，填入上表； (2)根据频率的稳定值估计种子的发芽率． 解：(1)种子的发芽频率从左到右依次为：0.96，0.86，0.89，0.91，0.90，0.90. (2)由(1)知发芽频率逐渐稳定在0.90，因此可以估计种子的发芽率为0.90. 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示： (1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为. (2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为. 概率是对随机现象发生可能性大小的度量，可以通过定义的方法得到，也可以通过统计的方法进行估计． [训练3]　有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90，110)内的概率为________． 0．3　解析：由题意得a＝1－(0.005＋0.01＋0.012 5＋0.007 5)×20＝0.3，所以样本数据落在区间[90，110)内的概率为0.3. [对应学生用书P73] 1．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是(　　) A．本市明天将有90%的地区降雨 B．本市明天将有90%的时间降雨 C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨 答案：D 2．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为(　　) A．160　　　　　　　　 B．7 840 C．7 998 D．7 800 答案：B 3．成语“千载难逢”意思是说某事(　　) A．一千年中只能发生一次 B．一千年中一次也不能发生 C．发生的概率很小 D．为不可能事件，根本不会发生 答案：C 4．某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下： 被调查 人数n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000 满意 人数m 999 998 1 002 1 002 1 000 满意 频率 (1)计算表中的各组频率； (2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少？ (3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况． 解：(1)表中各个频率依次是0.998，0.998，0.998，0.999，1. (2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对此教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998”． 用百分数表示就是P(A)＝99.8%. (3)由(1)(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高． 学科网（北京）股份有限公司 $$