5.3.5随机事件的独立性 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版学必修第二册

课题 5.3.5随机事件的独立性 学校 课型 新授 授课人 时间 课时 教材 学生 分析 本节课随机事件的独立性是概率论非常重要的概念之一，它的引进极大地推动了概率论的发展，概率论中很多重要的结论大都是在独立论地假定下获得的．对于高中阶段的概率知识来说，独立性的概念的引入，一方面很大程度上简化了多个事件同时发生的概率的求法，另一方面也为后续二项分布等的介绍做铺垫．不过，需要注意的是，随机事件的独立性是一个比较抽象的概念，要对独立性产生准确理解并不是一件容易的事，本节课的教学重点是通过实例，让学生理解两个随机事件的独立性的意义，培养学生数学抽象的核心素养，并掌握相互独立事件的概率乘法公式，运用公式求事件的概率，提升数学运算，逻辑推理的核心素养． 教学 目标 1.通过实例理解相互独立事件的概念及意义； 2.能记住并理解相互独立事件概率的乘法公式，能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题 核心 素养 数学抽象：相互独立事件的概念 逻辑推理、数学运算：相互独立事件概率的乘法公式 数学建模：运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题 重点 难点 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：独立性的应用 教法 教具 讲授法：借助多媒体设备、教学软件和网络资源，通过生动的语言和丰富的教学经验深入讲解，确保学生能够准确理解并掌握相关知识点，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。 评价 任务 评价任务1检测目标1的达成 评价任务2检测目标2的达成 评价任务3检测目标1、2的综合达成 评价 量规 评价要点 评价标准 评价层级 不达标预判与 补救措施 1.课堂参与度； 2.知识的掌握程度； 3.小组合作能力。 1.小组参与度高，与组员积极合作交流，并正确得出结论；主动表达自己的观点和上台展示自己的成果且正确；思路清晰、知识梳理合理。 2.评价任务对题率达到80%及以上。 优秀 预判： 措施： 1.基本能参与小组合作讨论与交流；主动表达自己的观点，但不全面，知识梳理基本全面。 2.评价任务对题率达到60%以上。 达标 1.不参与小组合作，不主动表达观点；提问回答不全面；知识点理解不透，梳理不到位，缺少层次。 2. 评价任务对题率低于60%。 不达标 教 学 活 动 设 计 环节1：情景导入，展示目标 设计意图与反思 导语 我们知道,积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关.那么,这种关系会是怎样的呢? 情境激疑，引入新课！ 环节2：任务一：相互独立事件的概念与判断 设计意图与反思 教师 活动 问题：分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现? 提示：用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率公式,得 P(A)=P(B)=,P(AB)=. 于是P(AB)=P(A)P(B). 知识梳理相互独立事件的概念与性质 (1)定义:一般地,设A,B为两个事件,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立). (2)性质:如果事件A与B相互独立,则与B,A与与也相互独立. (3)n个事件相互独立 对于n个事件“A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”. 注意点: 两个事件相互独立与互斥的区别:两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 例1.一个不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球. (1)记事件A=“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”,B=“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”; (2)记事件A=“从口袋内不放回地抽取2个球,第一次抽到红球”,B=“从口袋内不放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”. 试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件. 反思感悟　 判断两事件是否相互独立的方法 (1)直观法:利用事件所包含基本事件直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)公式法:若事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务1，并进行自我评价. 评价任务1. 1.(多选)下面所给出的事件中,M与N相互独立的是 (　　) A.抛掷一枚骰子,事件M={出现1点},事件N={出现2点} B.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,事件M={第一枚出现正面},事件N={第二枚出现反面} C.在装有2红1绿三个形状、大小相同的小球的口袋中,任取一个小球,观察颜色后放回袋中,事件M={第一次取到绿球},N={第二次取到绿球} D.某射手射击一次,事件M={击中靶心},事件N={未击中靶心} 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节3：任务二：相互独立事件概率的求法 设计意图与反思 教师 活动 知识梳理 相互独立事件的概率公式 (1)若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B); (2)若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). 例2.根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率; (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. 反思感悟：公式 P(AB)=P(A)P(B)可推广到一般情形,即如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An). 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务2，并进行自我评价. 评价任务2. 1.高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率:语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,且它们互不影响.求: (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少? 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节4：任务三：师生共研，走素养之路 设计意图与反思 教师 活动 类型一 相互独立事件的应用 例1.甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求： （1）两人都能破译的概率； （2）两人都不能破译的概率； （3）恰有一人能破译的概率． 类型二 相互独立事件概率的综合应用 例2.如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率. 反思感悟　 解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件,还要注意互斥事件的拆分,以及对立事件概率的求法的运用,即三个公式的联用: P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(A)=1-P(),P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互独立). 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务3，并进行自我评价. 评价任务3. 1.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率. 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节5：板书设计与课堂小结 设计意图与反思 1.学生根据教师的板书内容自主归纳总结本节课学习的主要内容，可以利用口头描述，也可以用思维导图或知识架构图来归纳，并展示； 2.教师适时补充完善板书内容和学生的知识总结，帮助学生构建知识体系和知识网络。 培养学生的语言表达概括能力； 同时加深对知识的构建和理解。 环节6：训练巩固评价提升 设计意图与反思 1.设A,B,C为三个随机事件,其中A与B互斥,B与C相互独立,则下列命题一定成立的是 (　　) A.A与B相互独立 B.A与C互斥 C.B与C互斥 D.与相互独立 2.甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 (　　) A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1) C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2) 3.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队每局赢的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 (　　) A. B. C. D. 4.已知A,B相互独立,P(A)=0.6,P(B)=0.3,则P(+B)等于 (　　) A.0.58 B.0.9 C.0.7 D.0.72 5.从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张,记事件A为“抽得K”,记事件B为“抽得红牌”,则事件A与B　　　　(填“是”或“不是”)相互独立事件.  6.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计,甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩合格的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求: (1)三人都合格的概率; (2)三人都不合格的概率; (3)出现几人合格的概率最大. 针对本节学习目标，通过检测便于教师及时了解学生的目标达成情况，也便于查缺补漏，评价量化。 环节7：回扣目标 设计意图与反思 1.请大家回看本节学习目标，通过这节课的学习，你达到目标了吗？ 2.学生对照学习目标，在自我评价表中自评 3.根据课堂检测情况，教师对学生进行最后综合评价。 结合前面量规和过程性评价给学生进行量化。 环节8：迁移应用及作业设计 设计意图与反思 1.张老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,他预估做对第一道题的概率是0.8,做对两道题的概率是0.6,能否做对两道题之间互不影响,则预估做对第二道题的概率是 (　　) A.0.80 B.0.75 C.0.60 D.0.48 2.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且每个开关是否闭合是相互独立的,则灯亮的概率为 (　　) A. B. C. D. 3.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　.  4.在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为, 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次,计算至少收到两次1的概率; (2)依次发送1,1,0,判断以下两个事件:①事件A=“至少收到一个正确信号”;②事件B=“至少收到两个0”,是否相互独立,并给出证明. 因材施教，分层练习，让每名学生各有所学，体验学习的快乐。 . . 学科网（北京）股份有限公司 $