5.3.3 古典概型（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5．3.3　古典概型 课程标准 学科素养 1.结合具体实例，理解古典概型及其两个特征． 2．能计算古典概型中简单随机事件的概率． 3．掌握求解古典概型问题的一般思路． 通过对古典概型的学习，提升数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养． [对应学生用书P66] 　一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型． 1．下列试验中，是古典概型的有(　　) A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四位同学用抽签法选一人参加会议 D．运动员投篮，观察是否投中 C　解析：A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不等，所以D不是古典概型． 2．下列试验中是古典概型的是(　　) A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 B　解析：根据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4个球；C项中，点落在圆内的样本点个数是无限的；D项中，射击命中环数的概率也不一定相等． 　假设样本空间含有n个样本点，事件C包含有m个样本点，则P(C)＝． 1．(教材改编)若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本外文书的概率为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． D　解析：抽到的外文书，可能是英文书或日文书， 所以P＝＋＝. 2．从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字中含有3为事件A，则P(A)＝________． 　解析：从1，2，3中任取两个数字有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个基本事件；事件A包含(1，3)，(2，3)，共2个基本事件，则P(A)＝. [对应学生用书P67] 下列概率模型是否为古典概型． (1)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球，有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个样本点，是否为古典概型？ (2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上，将豆子所落的位置看作一个样本点，是否是古典概型？ (3)一名射击运动员射击，把击中的环数看成样本点，是否是古典概型？ 解： (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸到的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型． (2)由于豆子落在桌面上的位置有无数个，即有无数个样本点，所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型． (3)由于运动员击中每一环的可能性不同，故以击中的环数为样本点的概率模型不是古典概型． 1．有限性：判断试验的样本空间包含的样本点是否是有限个，若样本点无限个，即不可数，则不是古典概型． 2．等可能性：考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则不是古典概型． 只有同时具备了上述两个特征，才是古典概型 [训练1]　下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　) (1)从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； (2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； (3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率； (4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 A　解析：第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1，10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”；第2个概率模型是古典概型，因为试验的样本空间有10个样本点，而且每个样本点被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型，因为在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，所以不满足“有限性”；第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等． 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求： (1)点数之和是4的倍数的概率； (2)点数之和大于5且小于10的概率． 解：从图中容易看出，样本点与所描点一一对应，共36个． (1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有9个，A＝{(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)}，所以P(A)＝. (2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的样本点共有20个(已用虚线圈出)，所以P(B)＝＝. 应用公式计算概率的步骤 (1)判断试验是否是古典概型； (2)求出试验的样本空间包含的样本点总数n； (3)求出事件A所包含的样本点个数m； (4)代入公式：P(A)＝ [训练2]　某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X、Y、Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) (1)用表中字母列举出试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2)设M＝“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率． 解：(1)从6名同学中选出2人，对应的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}，共有15个样本点． 由于每人被选到的可能性相同，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型． (2)因为M＝{(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)}，所以n(M)＝6， 从而P(M)＝＝. 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球． (1)若从中一次性任意摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率； (2)若采用不放回简单随机抽样从中任取两个球，一个球给小朋友甲，一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有一个黑球的概率； (3)若采用有放回简单随机抽样从中任取两个球，一个球给小朋友甲，一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球至少有一个黑球的概率． 解： (1)从中一次性任意摸出2个球，样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共有10个样本点，设A＝“恰有一个黑球和一个红球”，则A＝{(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共6个样本点，∴P(A)＝＝. (2)采用不放回简单随机抽样从中任取两个球，一个给甲，一个给乙，用(x，y)表示样本点，x表示给甲的小球编号，y表示给乙的小球编号．则样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)}，共有20个样本点，设B＝“甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有一个黑球”，则B＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)}，共14个样本点，∴P(B)＝＝. (3)采用有放回简单随机抽样从中任取两个球，用(x，y)表示样本点，x表示给甲的小球编号，y表示给乙的小球编号．则样本空间Ω＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，(e，e)}，共有25个样本点，B＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)}，共有16个样本点，∴P(B)＝. 求解古典概型问题的一般思路 1．明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)； 2．根据实际问题情境判断样本点的等可能性； 3．计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率 [训练3]　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中任意抽取2件． (1)分别写出不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样的样本空间； (2)在两种抽样方式下，分别计算抽到的两件产品中恰有1件次品的概率． 解：(1)根据相应的抽样方法可知，不放回简单随机抽样的样本空间Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 有放回简单随机抽样的样本空间Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}． (2)设事件A＝“两件产品中恰有一件次品”，则对于不放回简单随机抽样，A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，共4个样本点．∴P(A)＝＝. 对于有放回简单随机抽样，A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，共4个样本点．∴P(A)＝. 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂． (1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率． 解：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2. (2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机抽取2个，所有可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共21种． 随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝. 本题考查分层抽样以及古典概型概率求解的综合运用，在求解古典概型问题时，要认真分析条件，确保隐含条件挖掘到位 [训练4]　某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×＝3；从中学中抽取的学校数目为6×＝2；从大学中抽取的学校数目为6×＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1. (2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15个． ②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个， 所以P(B)＝＝. [对应学生用书P70] 1．下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚质地不均匀硬币首次出现正面为止 答案：C 2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有(　　) A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 3．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 4．一次掷两枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________． 答案： 5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球． (1)共有多少个样本点？ (2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？ 解：(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5). 因此，共有10个样本点． (2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)， 即(1，2)，(1，3)，(2，3)， 故P(A)＝. 故摸出2只球都是白球的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$