5.1.2 数据的数字特征（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5.1.2　数据的数字特征 课程标准 学科素养 1.会求样本数据的平均数、中位数、百分位数、众数并理解它们的意义和作用． 2．会求方差、标准差，并理解他们的意义和作用． 通过对数据的数字特征的学习，发展数学抽象、数据分析、数学运算的核心素养． [对应学生用书P45] 1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况，一般地，最大值用max表示，最小值用min表示． 2．平均数来刻画一组数据的平均水平(或中心位置). 如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)，简记为＝i． 3．如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b． 1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是(　　) A．3.5　　 B．－3　　 C．3　　 D．－0.5 B　解析：少输入90，＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3. 2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.则这组数据的平均数是________． 50　解析：＝(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50. 1．如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数． 2．一组数的P%(P∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值). 1．以下10个数据：49，64，50，48，65，52，56，46，54，51的中位数是________． 51．5　解析：(51＋52)＝51.5. 2．(教材改编)某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位：分钟)如下65, 65, 66, 74, 73, 81, 80，则它们的第三四分位数是________ . 80　解析：从小到大排序为65, 65, 66, 73, 74, 80, 81，第三四分位数即75%分位数，7×75%＝5.25，所以第三四分位数是第6项数据80. 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 1．一个样本数据如下：5.3，5.2，5.1，5，3.3，4，4.5，3.2，4.5.则该样本的众数和中位数分别为(　　) A．4.5和5　　　　　 B．4.5和4 C．4.5和4.5 D．4.5和4.75 C　解析：将样本数据按由小到大的顺序排列：3.2，3.3，4，4.5，4.5，5，5.1，5.2，5.3，∴众数为4.5，中位数为4.5. 2．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为(　　) A．4.55 B．4.5 C．12.5 D．1.64 A　解析：＝≈4.55. 1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差． 2．如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差为s2＝(xi－)2． 如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2． 3．方差的算术平方根称为标准差． 1. 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________． 　解析：该组数据的平均数为＝7， 方差s2＝ ＝. 2．某学员在一次射击测试中射靶6次，命中环数为：9，5，8，5，6，9, 命中环数的方差为________． 3　解析：平均数为(9＋5＋8＋5＋6＋9)＝7，s2＝(4＋4＋1＋4＋1＋4)＝3. [对应学生用书P46] 为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表： 每户丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5 户数 6 16 15 13 求这50户居民每天丢弃的旧塑料袋的平均数、众数． 解：平均数＝×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝＝3.7.众数是3. 1．确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势． 2．平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体，有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体. [训练1]　据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 求该公司职工月工资的平均数、众数． 解：平均数是＝(5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)≈2 091(元)，众数是1 500元． 某中学从高一年级中抽取了30名男生，测量其体重，数据如下(单位：千克)： 62　60　59　59　59　58　58　57　57　57 56　56　56　56　56　56　55　55　55　54 54　54　53　53　52　52　51　50　49　48 (1)求这30名男生体重的25%，75%分位数； (2)估计本校高一男生体重的第80百分位数． 解：将上述数据按从小到大排序，可得 48　49　50　51　52　52　53　53　54　54 54　55　55　55　56　56　56　56　56　56 57　57　57　58　58　59　59　59　60　62 (1)由25%×30＝7.5，75%×30＝22.5，可知它们的25%，75%分位数是第8, 23项数据，分别为53，57. (2)由80%×30＝24，可知第80百分位数为第24项与第25项数据的平均数，即(58＋58)＝58. 据此可以估计本校高一男生体重的第80百分位数为58. 计算第p百分位数的步骤 (1)按从小到大排列原始数据． (2)计算i ＝n×p%. (3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． [训练2]　一组数据分别是3.65，3.68，3.68，3.72，3.73，3.75，3.80，3.80，3.81，3.83，求它们的75%、50%分位数． 解：这组数据已经按从小到大排序，共有10项． 由75%×10＝7.5，50%×10＝5，可得75%分位数是第8项数据3.80， 50%分位数是第5项和第6项数据的平均数，为(3.73＋3.75)＝3.74. 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 分别计算两组数据的极差、平均数及方差． 解：(1)甲的极差为103－98＝5，乙的极差为102－99＝3. 甲＝[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100， 乙＝[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. 方差、标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，方差越大，表示数据的波动程度越大，数据的离散程度越高． [训练3]　某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 D　解析：∵＝(x＋y＋10＋11＋9)＝10，∴x＋y＝20， 又s2＝2＝[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]，∴xy＝96， ∴|x－y|＝ ＝ ＝4. [对应学生用书P48] 1．下列数据的中位数和众数分别是(　　) 79，84，84，86，84，87，93 A．84，84　　　　　 B．84，86 C．85，84 D．86，84 答案：A 2．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 答案：D 3．已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：B 4．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________． 8．4　解析：因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4. 学科网（北京）股份有限公司 $$