5.1.1 数据的收集（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5．1　统计 5．1.1　数据的收集 课程标准 学科素养 1.了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性． 2．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程． 3．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数表法． 4．通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围． 5．了解分层随机抽样的必要性． 通过对数据的收集的学习，达成数学抽象、数据分析、数学运算的核心素养． [对应学生用书P41] 1．所考察问题涉及的对象全体是总体，总体中每个对象都是个体，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容量． 2．一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查)，只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查． 1．某学校为了了解高一1 200名新入学学生的数学成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的100名学生的成绩是(　　) A．总体　　　　　　 B．样本 C．个体 D．样本量 答案：B 2．在以下调查中，适合用普查的是(　　) A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标 B．调查一批袋装牛奶的质量 C．调查一个班级每天完成家庭作业所需要的时间 D．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求 C　解析：A、B、D选项的调查，对于个体具有破坏性，不适合用普查． 1．简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体．简单随机抽样是其他各种抽样方法的基础． 2．常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法． 抽签法中确保样本代表性的关键是(　　) A．制签 B．充分搅拌 C．逐个抽取 D．抽取不放回 B　解析：制签、逐个抽取、抽取不放回是抽签法的特点，不是确保样本代表性的关键． 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样). 1．(教材改编)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　) A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人 B　解析：先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人). 2．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 60　解析：∵300×＝60，∴抽取60名学生． [对应学生用书P42] 下面问题可以用普查的方式进行调查的是(　　) A．检验一批钢材的抗拉强度 B．检验海水中微生物的含量 C．检验10件产品的质量 D．检验一批汽车的使用寿命 C　解析：A.不能用普查的方式调查，因为这种试验具有破坏性；B.用普查方式无法完成；D.试验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法应用． 1．对总体进行调查，选择普查还是抽样调查，关键是看调查的目的和两种调查方式的各自特点． 2．一般地，总体数较多或调查中对产品具有破坏性时，多采用抽样调查． 3．很多情况下，普查难以实现，在通常情况下，总是通过抽样调查来代替普查． [训练1]　为了了解某班学生会考合格率，要从该班70人中选30人进行调查分析，在这个问题中，70人的会考成绩的全体是(　　) A．总体 B．个体 C．从总体中抽取的一个样本 D．样本容量 A　解析：70人的会考成绩的全体是总体，每个人的会考成绩是个体，被选出的30人的会考成绩是总体的一个样本，样本容量是30. (1)要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请用抽签法抽样，写出抽样过程． (2)设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团．请写出利用随机数法抽取该样本的步骤． 解：(1)用抽签法，步骤如下： ①将30辆汽车编号，号码是1，2，3，…，30； ②将1～30这30个编号写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签； ③将写好的小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌； ④从盒里不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的编号； ⑤与号签上的编号对应的3辆汽车就是要抽取的样本． (2)其步骤如下： 第一步，将100名教师进行编号：00，01，02，…，99. 第二步，在随机数表中任取一数作为开始，如从第12行第9列开始，依次向右读取两位的数，可以得到31，70，05，00，25，93，45，53，78，14，28，89.与这12个编号对应的教师组成样本． 1．利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：①编号时，如果已有编号(如学号，标号等)可不必重新编号；②号签的外观、质地等无差别；③号签必须要充分搅拌；④要不放回地逐个抽取． 2．使用随机数表法应注意的问题： (1)选定初始数字读数方向，向左、向右、向上或向下都可以，方向不同可能产生不同的结果，但这一点不影响样本的公平性． (2)读数时，编号为两位，两位读取，编号为三位，则三位读取，如果出现重号，则跳过，接着读取． (3)当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整使新编号位数相同 [训练2]　某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案． 解：方案如下： 第一步，将18名志愿者编号，号码为1，2，3，…，18. 第二步，将1～18这18个编号写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签． 第三步，将写好的小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌． 第四步，从盒里不放回地逐个抽取6个号签，并记录上面的编号． 第五步，与号签上的编号对应的志愿者就是医疗小组成员． 某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据样本量比例分配的分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格： 产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量 130 由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件． 800　解析：设总样本量为x，则＝，∴x＝300. ∴ A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件). 设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，∴y＝80. ∴C产品的数量为×80＝800. [变式]　若本例中条件不变，则所取A产品的数量为________． 900　解析：设A产品的样本量为x，则x＋x－10＝300－130＝170，得x＝90， ∴A产品的数量为×90＝900. ∴A产品的数量为900. 1．分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占的比例抽取． 2．用分层抽样抽取样本时，需照顾到各层中的个体，所以每层抽取的比例应等于样本容量在总体中的比例． 3．在分层抽样中，确定抽样比k是抽样的关键，一般地，抽样比k＝(N为总体容量，n为样本容量)，按抽样比k在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性． 4．在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行． [训练3]　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及以上的有95人，为了了解与身体状况有关的某项指标，要从所有职工中抽取100名职工作为样本，因职工年龄与这项指标有关，采用分层随机抽样方法抽取，若按各年龄段所占的比例进行分配，那么各年龄段应该抽取多少人？ 解：分配比例为＝，则在不到35岁的职工中抽125×＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽280×＝56(人)； 在50岁及以上的职工中抽95×＝19(人). [对应学生用书P44] 1．“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是(　　) A．通过调查获取数据　　 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获取数据 答案：C 2．(多选题)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的是(　　) A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里 C．从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 答案：ABD 3．某镇有A，B，C三个村，它们的精准扶贫的人口数量之比为3∶4∶5，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A村有15人，则样本容量为(　　) A．25　　　 B．45 C．60　　　 D．80 答案：C 4．下列问题，适合抽样调查的是________(填序号). ①调查黄河的水质情况； ②调查某化工厂周围5个村庄的水质是否受到污染； ③调查某药品生产厂家一批药品的质量情况； ④进行某一项民意测验． 答案：①③④ 5．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程． 解：第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以抽样比为＝， 第二步，确定各层抽取的样本量，一级品：100×＝10， 二级品：60×＝6，三级品：40×＝4. 第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本． 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本． 学科网（北京）股份有限公司 $$