4.4 幂函数（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4.4　幂函数 课程标准 学科素养 1.通过实例，了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝x、y＝的图象，了解它们的变化情况及性质． 3．会利用幂函数解决一些问题． 通过对幂函数的学习，强化数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养． [对应学生用书P30] 1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 2．幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为1； ③幂xα的系数为1； ④只有1项． 1．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝2x3　　　　　　　 B．y＝2x2－1 C．y＝ D．y＝ 答案：C 2．若函数是幂函数，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A　解析：幂函数是形如f(x)＝xα的函数，∴2m＋3＝1，∴m＝－1. 对于函数y＝xα而言，其图象有以下特点： (1)恒过点(1，1)，且不过第四象限． (2)当α＞0时，幂函数的图象在[0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数． (3)当α>1，图象是下凸的变化趋势，当0<α<1时，图象是上凸的变化趋势． (4)在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． 1．思考辨析 (1)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1).(　　) (2)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限．(　　) (3)幂函数y＝xα(α为常数)的定义域、值域、单调性、奇偶性会因α的不同而不同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．(教材改编)已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则幂函数f(x)具有的性质是(　　) A.在其定义域上为增函数 B．在其定义域上为减函数 C．奇函数 D．定义域为R A　解析：设幂函数f(x)＝xα ∵幂函数图象过点(4，2)，∴4α＝2，∴α＝， ∴f(x)＝x(x≥0) ∴由f(x)的性质知，f(x)是非奇非偶函数，值域为[0，＋∞)，在定义域内无最大值，在定义域内单调递增，故A正确． [对应学生用书P31] 已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解：∵函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数， 由幂函数的定义得 解得m＝－3或1，n＝. 1．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数． 2．判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断． [训练1]　已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则f(100)＝________． 10　解析：由题意可知f(9)＝3，即9α＝3， ∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝10. 已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a　　　　　 B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0. 由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a. 幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小. [训练2]　已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　) A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m C　解析：由幂函数的图象知：0<m<1，n>p>1，∴n>p>m. 求下列函数的定义域，并指出其奇偶性和单调性． ①y＝x；②y＝x；③y＝x－2；④y＝x－. 解：①函数y＝x，即y＝，其定义域为R；是偶函数；它在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数． ②函数y＝x，即y＝，其定义域为[0，＋∞)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在[0，＋∞)上为增函数． ③函数y＝x－2，即y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；是偶函数；它在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数． ④函数y＝x－，即y＝，其定义域为(0，＋∞)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在(0，＋∞)上为减函数． 1．幂函数y＝xα的单调性与α的正负有关，在第一象限，当α>0时为增函数，当α<0时为减函数，在其它象限的单调性由奇偶性探求． 2．幂函数的奇偶性．y＝xα，当α＝(p，q∈Z)是最简分数时，当p，q均为奇数时，y＝xα是奇函数；当p为偶数，q为奇数时，y＝xα是偶函数；当q为偶数时，y＝xα为非奇非偶函数． [训练3]　f(x)＝x－的图象是(　　) A　解析：∵－<0，∴f(x)＝x－在(0，＋∞)是减函数， 而f(x)＝x－＝，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称． 比较下列各组数的大小： (1)3－和3.1－； (2)－8－和－； (3)和； (4)4.1，3.8和(－1.9) . 解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数， 又3＜3.1，所以3－＞3.1－. (2)－8－＝－， 函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数， 又＞，则＞，从而－8－＜－. (3)＝，＝. 函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又＞， 所以＝＜＝. (4)4.1＞1＝1；0＜3.8＜1＝1； (－1.9) ＜0， 所以(－1.9) ＜3.8＜4.1. [变式]　已知幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上是减函数，若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(，) C．(－1，) D．(－∞，－1)∪(，) B　解析：∵幂函数f(x)＝xm－2的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以m－2<0，解得m<2， 因为m∈N，所以m＝0或m＝1，∴当m＝0时，0－2＝－2，图象关于y轴对称，不满足题意； 当m＝1时，1－2＝－1，图象关于原点对称，满足题意， 即实数a的取值范围是(，). 1.比较幂的大小的三种常用方法 2．利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用 [训练4]　把下列各数按由小到大的顺序排列： 解： 而函数y＝x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以有2>(). 所以所给各数按由小到大排列的顺序为 [对应学生用书P33] 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x　　　　　　　　 B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 答案：B 2．函数y＝x3的图象大致是图中的(　　) 答案：B 3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 答案：A 4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f()＝________． 答案： 5．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f(x)的解析式． 解：∵幂函数y＝x3m－9在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴3m－9<0，即m<3. 又∵m∈N＋，∴m＝1，2. 又y＝x3m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数， ∴3m－9是偶数．∴m＝1. ∴f(x)＝x－6. 学科网（北京）股份有限公司 $$