4.3 指数函数与对数函数的关系（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4．3　指数函数与对数函数的关系 课程标准 学科素养 1.理解反函数的概念，能判定一个函数是否存在反函数，并能求出简单函数的反函数． 2．掌握互为反函数的函数图象间的关系及其性质． 通过对指数函数与对数函数的关系的学习，强化直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养． [对应学生用书P26] 如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时称y＝f(x)存在反函数，而且函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x). 1．(教材改编)已知函数f(x)与函数g(x)＝ex互为反函数，则(　　) A．f(x)＝lg x(x∈R)　　 B．f(x)＝lg x(x＞0) C．f(x)＝ln x(x∈R) D．f(x)＝ln x(x＞0) D　解析：∵g(x)＝ex的反函数为y＝ln x(x＞0)，只有D正确． 2．函数y＝(x≤0)的反函数是(　　) A．y＝x2 B．y＝－x2 C．y＝－x2(x≤0) D．y＝－x2(x≥0) D　解析：由y＝得y2＝－x，∴x＝－y2，∴反函数是y＝－x2(x≥0). 1．y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同． 2．y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称． 3．y＝f(x)与y＝f－1(x)具有相同的单调性． 1．函数y＝(－3≤x≤－1)的反函数的定义域是________． [0，2]　解析：∵t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，－3≤x≤－1，∴t∈[0，4]，∴y＝∈[0，2]，反函数的定义域就是原函数的值域，即[0，2]. 2．函数y＝(x＞0)与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，解f(x)＝________． －　解析：y＝的反函数是y＝＝－，所以f(x)＝－. [对应学生用书P27] 试判断函数y＝是否存在反函数． 解：任取R中x1＜x2，则有 f(x1)－f(x2)＝－＝ 这里1－x1x2的正负无法确定，且当x1＝2，x2＝时，f(x1)＝f(x2)，即函数在R上不具有单调性，故它不存在反函数． 反函数的存在条件：原函数中x、y是“一对一”确定的．一般来说，若f(x)在区间A上是单调的，那么f(x)在A上有反函数． [训练1]　函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是(　　) A．a∈(－∞，1]　　　　　　 B．a∈[2，＋∞) C．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞) D．a∈[1，2] C　解析：因为二次函数f(x)＝x2－2ax－3不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(－∞，a]或[a，＋∞)上是单调函数． 而已知函数f(x)在区间[1，2]上存在反函数 所以[1，2]⊆(－∞，a]或者[1，2]⊆[a，＋∞) 即a≤1或a≥2. 求下列函数的反函数： ①y＝3x－1(x∈R)； ②y＝x3＋1(x∈R)； ③y＝＋1(x≥0)； ④y＝(x∈R，且x≠1). 解：①由y＝3x－1解得x＝， ∴函数y＝3x－1(x∈R)的反函数是y＝(x∈R). ②由y＝x3＋1(x∈R)解得x＝， ∴函数y＝x3＋1(x∈R)的反函数是y＝(x∈R). ③由y＝＋1解得x＝(y－1)2， ∵x≥0，∴y≥1. ∴函数y＝＋1(x≥0)的反函数是y＝(x－1)2(x≥1). ④由y＝解得x＝ ∵x∈{x∈R，且x≠1}，∴y∈R且y≠2. ∴函数y＝(x∈R，且x≠1)的反函数是y＝(x∈R，x≠2). 求函数y＝f(x)的反函数的步骤 (1)从原函数y＝f(x)的表达式中反解出x＝f－1(y)； (2)互换x，y，得到y＝f－1(x)； (3)求出反函数的定义域，即原函数的值域． [训练2]　求函数f(x)＝的反函数． 解：当x≤－1时，y＝x2＋1≥2，且有x＝－，此时反函数为y＝－(x≥2)， 当x＞－1时，y＝－x＋1＜2，且有x＝－y＋1，此时反函数为y＝－x＋1(x＜2). ∴f(x)的反函数f－1(x)＝ 已知f(x)＝2x＋1的反函数为f－1(x)，求f－1(x)＜0的解集． 解：由f(x)＝2x＋1＞1得f－1(x)中的x＞1. 又∵f－1(x)＜0且f(x)＝2x＋1在R上为增函数， ∴f[f－1(x)]＜f(0)， ∴x＜f(0)＝2. 故f－1(x)＜0的解集为{x|1＜x＜2}． 1．若函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数，且(a，b)在y＝f(x)的图象上，则(b，a)在y＝f－1(x)图象上． 2．若函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数，若f(a)＝b，则f－1(b)＝a. 3．互为反函数的函数具有相同的单调性，利用这个结论，可以避免求反函数的过程，直接利用原函数的性质求解，减少失误． [训练3]　若点(2，)既在函数y＝2ax＋b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a＝________，b＝______． －　　解析：∵点(2，)在函数y＝2ax＋b的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系， ∴点(，2)在函数y＝2ax＋b的图象上． 把点(2，)与(，2)分别代入函数y＝2ax＋b可得 2a＋b＝－2，　① a＋b＝1，　② 解得a＝－，b＝. 已知函数f(x)＝，若函数g(x)的图象与y＝f－1(x＋1)的图象关于直线y＝x对称． (1)求g(3)的值； (2)求证：函数g(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)解：由f(x)＝，得f－1(x)＝(x≠2)， ∴f－1(x＋1)＝. ∵g(x)的图象与y＝f－1(x＋1)的图象关于直线y＝x对称， ∴g－1(x)＝f－1(x＋1)＝(x≠1). 由＝3，解得x＝，∴g(3)＝. (2)证明：由g－1(x)＝(x≠1)，得g(x)＝(x≠1)， ∴g(x)＝g－1(x)(x≠1)， ∴函数g(x)的图象关于直线y＝x对称． [变式]　函数f(x)＝(a、b、c是常数)的反函数是f－1(x)＝，求a、b、c的值． 解：∵f－1(x)＝， ∴f[f－1(x)] ＝f[]＝＝＝x， ∴(3a＋b)x－a＋2b＝(c＋3)x2＋(2c－1)x， ∴∴ 由互为反函数的两个函数的图象关系可以知道，证明两个函数的图象关于直线y＝x对称，就是证明这两个函数互为反函数；证明一个函数的图象关于直线y＝x对称，就是证明它与自身互为反函数． [训练4]　已知函数f(x)＝(x≠－a，a≠)， (1)求f(x)的反函数； (2)若这个函数图象关于y＝x对称，求a的值． 解：(1)由y＝⇒yx＋ay＝3x＋1⇒x＝. 又y＝＝3＋≠3， ∴f－1(x)＝(x≠3). (2)由题函数图象关于y＝x对称， 可知f(x)的反函数是它本身，即f(x)＝f－1(x)， ∴＝， 即3x2－8x－3＝－ax2＋(1－a2)x＋a. ∴⇒ ∴a＝－3. [对应学生用书P29] 1．函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为(　　) A．x＝2－y　　　　　　　 B．x＝y－2 C．y＝2－x(x∈R) D．y＝x－2(x∈R) 答案：D 2．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1，5)，则函数y＝f(x)的图象必过点(　　) A．(1，1) B．(1，5) C．(5，1) D．(5，5) 答案：C 3．函数f(x)＝10x与函数g(x)＝lg x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案：D 4．已知函数f(x)＝3x＋1，则f－1(9)＝________. 答案：1 5．已知函数f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0，1]. (1)求g(x)的解析式； (2)求g(x)的值域． 解：(1)因为f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2， 所以f(a＋2)＝3a＋2＝18.所以3a＝2. 因为g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x， 所以g(x)＝2x－4x(0≤x≤1). (2)令t＝2x(0≤x≤1)，所以t∈[1，2]. 则g(x)＝y＝－t2＋t＝－(t－)2＋， 在t∈[1，2]上单调递减． 所以当t＝1，即x＝0时，g(x)max＝0； 当t＝2，即x＝1时，g(x)min＝－2. 故g(x)的值域为[－2，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $$