4.2.2 对数运算法则（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4．2.2　对数运算法则 课程标准 学科素养 1.掌握对数的运算法则，并能运用法则化简求值. 2．了解换底公式及其应用． 通过对数运算法则及换底公式的学习，进一步发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P15] 如果a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0.那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN． (2)logaMα＝αlogaM(α∈R). (3)loga＝logaM－logaN． 1．思考辨析 (1)log3[(－4)×(－5)]＝log3(－4)＋log3(－5).(　　) (2)log2(－3)2＝2log2(－3).(　　) (3)lg 2＋lg 5＝1.(　　) (4)log48＝log23.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．ln e2＝________． 答案：2 3．(教材改编)log312－log34＝________． 答案：1 logab＝，其中a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1. 1．式子的值为(　　) A．　　　 B．　　　 C．2　　　 D．3 B　解析：＝＝＝. 2．若15a＝5b＝3c＝25，则＋－＝________． 1　解析：∵15a＝5b＝3c＝25， ∴a＝log1525，b＝log525，c＝log325， ∴＋－ ＝log2515＋log255－log253 ＝log25(15×5÷3)＝log2525＝1， [对应学生用书P16] 求下列各式的值： (1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (2)log2＋log212－log242； (3)； (4)lg (＋). 解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg (5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×lg 5＋lg 2＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2. (2)原式＝log2＝－. (3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3； 分母＝(lg 6＋2)－lg ＝lg 6＋2－lg ＝4. ∴原式＝. (4)原式＝lg (＋)2＝lg (3＋＋3－＋2)＝lg 10＝. 1．对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数． 2．对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg 5＋lg 2＝1”解题 [训练1]　计算下列各式的值： (1)lg －lg ＋lg ； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 解：(1)法一　原式 ＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. 法二　原式＝lg －lg 4＋lg 7＝lg ＝lg (·)＝lg ＝. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 计算下列各式的值： (1)log89·log2732；(2)(log43＋log83). 解：(1)原式＝·＝·＝. (2)原式＝(＋)＝(＋)· ＝·＋·＝＋＝. 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式，解决一般对数求值的问题． [训练2]　计算下列各式的值： (1)log23·log36·log68； (2)(log23＋log43)(log32＋log274). 解：(1)原式＝log23··＝log28＝3. (2)原式＝(log23＋log23)×(log32＋log32) ＝(log23)×(log32)＝log23×log32 ＝log23×＝. 设3a＝5b＝，求＋的值． 解：∵3a＝5b＝，两边取常用对数， 得a lg 3＝b lg 5＝lg 15， ∴a＝，b＝，∴＋＝＋＝＝＝2. 题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．左右两边同时取常用对数． [训练3]　设2x＝5y＝m，且＋＝2，则m＝(　　) A．±　　　　　　 B． C．10 D．100 B　解析：∵2x＝5y＝m，两边取常用对数． 得x＝log2m＝，y＝log5m＝， ∴＋＝＝＝2， ∴lg m＝，∴m＝10＝. 已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝________(用a，b表示). 　解析：∵log189＝a，b＝log185， ∴a＋b＝log189＋log185＝log18(9×5)＝log1845， log1836＝log18(2×18)＝1＋log182＝1＋log18＝2－log189＝2－a；∴log3645＝＝. [变式]　若在本例中将条件改为“已知10a＝2，10b＝3”，又如何用a，b表示log3645? 解：∵log3645＝＝ ＝＝， ∴log3645＝. 1．利用换底公式化简、求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数． (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用． (3)换底公式的正用与逆用． (4)恰当应用换底公式的两个常用结论． 2．利用换底公式计算、化简、求值的思路 [训练4]　已知log32＝a，3b＝7，用含有a，b的式子表示log1256. 解：由3b＝7得log37＝b， log1256＝＝＝＝. [对应学生用书P18] 1．(多选题)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　) A．logax2＝2logax B．logax2＝2loga|x| C．loga(xy)＝logax＋logay D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y| 答案：AC 2．计算log916×log881的值为(　　) A．18　　　 B． 　　　 C．　　　 D． 答案：C 3．log242＋log243＋log244等于(　　) A．1 B．2 C．24 D． 答案：A 4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log312＝________． 答案： 5．设3x＝4y＝6z＝t>1，求证：－＝. 证明：∵3x＝4y＝6z＝t， ∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t， ∴＝logt3，＝logt4， ＝logt6， ∴－＝logt6－logt3＝logt2. 又＝logt4＝2logt2，即＝logt2， ∴－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$