4.1.2 第2课时 指数函数性质的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

第二课时　指数函数性质的应用 课程标准 学科素养 1.通过具体的指数函数，归纳总结指数函数的性质、单调性及特殊点． 2．会利用指数函数的性质和图象解决与指数函数有关的问题． 通过对指数函数性质的学习，进一步提升数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P8] 当a>1时，函数y＝ax在R上为增函数； 当0<a<1时，函数y＝ax在R上为减函数． 1．思考辨析 (1)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　) (2)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) (3)若()a>，则a>b .(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)× 2．(教材改编)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________． c>a>b　解析：∵y＝0.8x是减函数，∴0<b<a<1. 又∵c＝1.20.8>1，∴c>a>b. 对于形如af(x)>ag(x)(或af(x)<ag(x))的不等式， 当a>1时，转化为f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))； 当0<a<1时，转化为f(x)<g(x)(或f(x)>g(x)). 1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－1，1)　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) D　解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0， ∴x<－1. 2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________． (－∞，1)　解析：∵0.53x－4＝()3x－4＝24－3x， ∴由23－2x＜24－3x，得3－2x＜4－3x，∴x＜1. 函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1) 恒过定点(m，k＋b)(满足g(m)＝0). 1．函数y＝ax－1－3的图象恒过定点坐标是(　　) A．(1，－3) B．(1，－2) C．(2，－3) D．(2，－2) B　解析：令x－1＝0，得x＝1， 此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2). 2．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________． 　解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0. [对应学生用书P9] 比较下列各组数的大小： (1)1.82.2，1.83；(2)0.7－0.3，0.7－0.4；(3)1.90.4，0.92.4；(4)0.60.4，0.70.4. 解：(1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，又∵1.8>1， ∴函数y＝1.8x在R上为增函数． 故1.82.2<1.83. (2)∵函数y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4. (3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4. (4)∵在y轴右侧函数y＝0.6x的图象在函数y＝0.7x的图象的下方，∴0.60.4<0.70.4. 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法).取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小． [训练1]　比较下列两组数的大小： (a－1)1.3与(a－1)2.4(a＞1且a≠2). 解：由于a＞1且a≠2，所以a－1＞0且a－1≠1， 若a－1＞1即a＞2，则y＝(a－1)x是增函数， ∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4， 若0＜a－1＜1，即1＜a＜2，则y＝(a－1)x是减函数， ∴(a－1)1.3＞(a－1)2.4. 解下列关于x的不等式： (1)()x＋5≤16； (2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1). 解：(1)∵()x＋5≤16，∴2－x－5≤24. ∴－x－5≤4，∴x≥－9. 故原不等式的解集为{x|x≥－9}． (2)当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. 当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述， 当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}． 解简单的指数不等式的一般方法 (1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图象求解． [训练2]　若ax＋1>()5－3x(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解：ax＋1>()5－3x⇔ax＋1>a3x－5， 当a>1时，可得x＋1>3x－5，∴x<3. 当0<a<1时，可得x＋1<3x－5，∴x>3. ∴当a>1时，x的取值范围为(－∞，3). 当0<a<1时，x的取值范围为(3，＋∞). 已知函数f(x)＝. (1)证明f(x)为奇函数； (2)求证f(x)是R上的增函数； (3)求函数f(x)的值域． (1)证明：函数f(x)的定义域R关于原点对称，且 f(－x)＝＝＝＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)证明：因为f(x)＝＝1－， 设x1，x2∈R，且x1<x2，则 因为x1<x2∈R，所以2x1<2x2，2x1>0，2x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，故f(x)是R上的增函数． (3)解：因为f(x)＝＝1－， 又2x＋1>1，所以0<<1. 所以0<<2，故－1<1－<1， 所以f(x)的值域为(－1，1). [变式]　将本例改为“若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)>0恒成立，求k的取值范围”，该如何求解？ 解：由例题解答过程可知，函数为奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)>0等价于f(t2－2t)>－f(2t2－k)＝f(k－2t2). 又因为f(x)为增函数，由上式推得t2－2t>k－2t2，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0. 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－， 故实数k的取值范围是(－∞，－). 解决指数函数性质的综合问题的两点 (1)与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质． [训练3]　设a∈R，f(x)＝a－(x∈R). (1)证明对任意实数a，f(x)为增函数； (2)试确定a的值，使f(x)≤0恒成立． (1)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， ∵指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 故对于任意实数a，f(x)为增函数． (2) 解：f(x)＝a－≤0恒成立，只要a≤恒成立，问题转化为只要a不大于的最小值． ∵x∈R，2x>0恒成立，∴2x＋1>1. ∴0<<1，0<<2，即∈(0，2)， ∴a≤0，故当a≤0时，f(x)≤0恒成立． [对应学生用书P11] 1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．c>b>a　　　　　　　 B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 答案：C 2．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0) 答案：A 3．(多选题)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－4)>f(3) 答案：AD 4．不等式23－2x<0.53x－4的解集为________． 答案：{x|x<1} 5．已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[0，3]上的值域． 解：(1)函数的定义域是R. 令u＝－x2＋2x，则f(x)＝2u. 当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数f(x)＝2u是增函数， 所以函数在(－∞，1]上是增函数； 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数f(x)＝2u是增函数，所以函数在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1]. (2)由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝， 所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝， 所以f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$