4.1.2 第1课时 指数函数的图象和性质（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4.1.2　指数函数的性质与图象 第一课时　指数函数的图象和性质 课程标准 学科素养 1.理解指数函数的概念和意义． 2．能利用函数性质画出指数函数的图象，并借助于计算器或计算机验证． 3．初步掌握指数函数的有关性质． 通过指数函数性质与图象的学习，强化数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养． [对应学生用书P5] 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0，且a≠1. 1．下列函数中指数函数的个数是(　　) ①y＝3x；②y＝x3；③y＝－3x；④y＝xx； ⑤y＝(6a－3)x. A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 C　解析：只有①⑤是指数函数；②底数不是常数，故不是指数函数；③是－1与指数函数y＝3x的乘积；④中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义． 2．(教材改编)若指数函数f(x)的图象经过点(2，4)，则f(3)＝________． 8　解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为图象经过点(2，4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因为a>0且a≠1，得a＝2，即函数的解析式为f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8. 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 减函数 增函数 非奇非偶函数 1．函数y＝3－x的图象是(　　) B　解析：∵y＝3－x＝，∴B正确． 2．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________． (1，＋∞)　解析：结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a>1. [对应学生用书P6] 下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4) y＝xα(α是常数). 解：(1)y＝10x符合定义，是指数函数． (2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数． (3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数． (4)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数． 判断一个函数是否为指数函数的关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a＞0，且a≠1; (2)ax的系数为1； (3)y＝ax中“a是常数”，x为自变量，自变量在指数位置上. [训练1]　函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝2　　　　 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 C　解析：由指数函数的定义知， ∴a＝2(a＝1舍去). 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a<b<1<c<d　　　 B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c B　解析：法一　在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有b<a，在③④中底数大于1，在y轴右边，底数越大，图象向上越靠近y轴，故有d<c. 法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b<a<1<d<c. 1．指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧， 图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧， 图象从上到下相应的底数由小变大． 无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)，且与直线x＝1相交于点(1，a)，因此，直线x＝1与各图象交点的纵坐标即为底数，由此可得底数的大小 2．指数函数y＝ax与y＝()x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 3．处理函数图象问题的常用方法：一是抓住图象上的特殊点；二是利用图象的变换；三是利用函数的奇偶性与单调性． [训练2]　函数y＝()|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？ 解：∵y＝()|x|＝ ∴其图象由y＝()x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成．而y＝()x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象关于y轴对称，∴原函数的图象关于y轴对称．由图象可知值域是(0，1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞). 求下列函数的定义域与值域： (1)y＝2；(2)y＝()－|x|. 解：(1)∵由x－4≠0，得x≠4， ∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠4}． ∵≠0，∴2≠1. ∴y＝2的值域为(0，1)∪(1，＋∞). (2)函数的定义域为R. ∵|x|≥0， ∴y＝()－|x|＝()|x|≥()0＝1. 故y＝()－|x|的值域为[1，＋∞). [变式]　已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1，2]，求函数的值域． 解：设t＝3x，x∈[1，2]，则t∈[3，9]， 因为y＝9x－2·3x＋2＝(3x)2－2·3x＋2，则函数化为y＝t2－2t＋2(t∈[3，9]). ∵函数y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1在[3，9]上为增函数， ∴5≤y≤65.故函数的值域为[5，65]. 1．函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域、值域 定义域的求法．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同. 对于y＝af(x)型函数，先求出f(x)的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的草图或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域． 2．二次函数与指数函数的综合问题 利用换元法将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和指数函数的单调性求出t的范围，就转化为闭区间上二次函数的最值问题了，可以结合图象求解． [训练3]　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝3；(2)y＝ . 解：(1)由题意知定义域为[2，＋∞). ∵ ≥0，∴y＝3≥1. 故函数的值域为[1，＋∞). (2)∵1－()x≥0， ∴()x≤1，即x≥0， ∴函数y＝ 的定义域为[0，＋∞). 令t＝()x， ∴0<t≤1，∴0≤1－t<1， ∴0≤<1. 故函数y＝ 的值域为[0，1). [对应学生用书P8] 1．已知指数函数f(x)＝(a－2)ax，则f(2)＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．9 D．16 答案：C 2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(　　) A．10天 B．15天 C．19天 D．2天 答案：C 3．函数y＝的定义域为________． 答案：[－1，＋∞) 4．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，) ，其中a>0，且a≠1. (1)求a的值； (2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域． 解：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，)，所以f(2)＝a2－1＝a＝ . (2)由(1)得f(x)＝() x－1 (x≥0)， 因为函数在[0，＋∞)上是减函数， 所以当x＝0时，函数取最大值2， 故f(x)∈(0，2]， 所以函数y＝f(x)＋1＝() x－1 ＋1(x≥0)∈(1，3]， 故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$