4.1.1 实数指数幂及其运算（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 课程标准 学科素养 1.理解根式的概念，掌握n次方根的性质． 2．理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂和根式之间的相互互化． 3．掌握有理数指数幂的运算法则并推广到实数指数幂． 4．理解无理数指数幂的含义． 通过对实数指数幂的学习，达成数学抽象、数学运算的核心素养． [对应学生用书P1] 1．n次方根：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 2．根式：当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 3．根式的性质：(1)()n＝a；(2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|． 1．已知m10＝2，则m等于(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．± D　解析：由m10＝2，所以m＝±. 2．若m<n，则 ＝________． n－m　解析：∵m<n，∴m－n<0, ＝|m－n|＝n－m. 1．分数指数幂的意义：为了方便起见，我们约定底数a＞0.于是，当a＞0时，规定a＝，a＝()m＝(n，m∈N＋，且为既约分数).需要注意的是，上式在不是既约分数(既m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．因此，以后无特别说明时，我们都认为分数指数幂中的指数都是既约分数．负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即a＞0时，规定＝(n，m∈N＋). 2．有理数指数幂的运算法则 (1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t＝as_t(a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)s＝asbs(a>0，b>0，s∈Q). 1．(教材改编)3可化为(　　) A． B． C． D． D　解析：3＝＝. 2．把根式a化成分数指数幂是(　　) A．(－a) B．－(－a) C．a D．－a C　解析：由题意可知a≥0，a·＝a·a＝a. 1．无理数指数幂的意义：当a＞0且t是无理数时，at都是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)asat＝as＋t(a＞0，s，t∈R). (2)(as)t＝as_t(a＞0，s，t∈R). (3)(ab)s＝asbs(a＞0，b＞0，s∈R). 1．式子(a＞0)经过计算可得到(　　) A．a B．－ C． D． D　解析：原式＝＝＝＝a＝. 2．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________． 　解析：∵10x＝3，10y＝4，∴102x－y＝＝＝. [对应学生用书P2] 求下列各式的值： (1) ＋； (2)()5＋()6(b>a). 解：(1)原式＝－7＋|5－2π|＝－7＋2π－5＝2π－12. (2)原式＝a－b＋b－a＝0. 1．化简时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简． 2．化简()n时，关键是明确是否有意义，只要有意义，则()n＝a [训练1]　求下列各式的值： (1) ＋； (2)|x|－＋. 解：(1)原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0. (2)原式＝|x|－|x|＋1＝1. 下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数). (1)；(2)；(3)x－；(4)xy－. 解：(1)＝x. (2)＝＝x－. (3)x－＝＝ . (4)xy－＝＝. 根式与分数指数幂互化的规律与技巧 (1)规律：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)技巧：当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出 [训练2]　下列各式正确的是(　　) A．＝(m＋n) B．()2＝ab C．＝(－3) D．＝2 D　解析：A.(m＋n)＝，因此不正确；B.()2＝b2·a－2，因此不正确；C.＝＝3，因此不正确；D.＝2×＝2，正确． 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)， (1)a2；(2) ；(3)·；(4)()2·. 解：(1)原式＝a2a＝a2＋＝a.(2)原式＝ ＝＝a.(3)原式＝a·a＝a＋＝a.(4)原式＝(a)2·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab. 将根式转化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则进行化简． [训练3]　将下列各式化为分数指数幂的形式． (1)(x>0)； (2) (a>0，b>0). 解：(1)原式＝＝ ＝＝＝＝x－. (2)原式＝[ab3(ab5)]＝(a·a·b3·b) ＝(ab)＝ab. 探究四　利用分数指数幂的运算法则化简、求值 计算下列各式：(1)(－3)－＋0.002－－10(－2)－1＋(－)0； (2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c). 解：(1)原式＝(－1)－×(3)－＋()－－＋1＝()－＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－. [变式]　已知a＋a－＝5，求的值． 解：因为a－a－＝(a)3－(a－)3， 所以＝ ＝a＋a－1＋1＝(a＋a－)2－2＋1＝52－1＝24. (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． [训练4]　设a－a－＝m，则＝(　　) A．m2－2　　　　　 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 C　解析：将a－a－＝m两边平方得(a－a－)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2， 即a＋＝m2＋2⇒＝m2＋2. [对应学生用书P4] 1．若2＜a＜3，化简 ＋ 的结果是(　　) A．5－2a　　　　　　 B．2a－5 C．1 D．－1 答案：C 2．化简[(－ )2]－的结果是(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：C 3. · 等于(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 4．若a2＋a－2＝7，则a2－a－2＝________． 答案：±3 5．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 的值． 解：．① ∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根， ∴a＋b＝12，ab＝9，② ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－6 .③ 将②③代入①，得 ＝－ . 学科网（北京）股份有限公司 $$