期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：三角+三角函数全部内容）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角+三角函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一下·全国·课前预习）三角形的面积公式 . 2．（24-25高一下·全国·课前预习）正弦定理 . 3．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）函数的最大值为 . 4．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知函数为奇函数，则 ． 5．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的正弦值为 . 6．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已如函数的部分图象如图所示，则 ． 7．（2025高一·上海·专题练习）如图，已知D为线段BC的延长线上一点，且，，，则 ． 8．（24-25高一下·上海闵行·课堂例题）φ对函数的图象的影响 一般地，函数的定义域为______，值域为______，周期是______． 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知米，米（），线段、线段、弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度，则关于的函数解析式是 ． 10．（23-24高一下·上海静安·期末）函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为 .    11．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 12．（23-24高一下·上海长宁·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是 ． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（2025高一·上海·专题练习）函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 15．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·上海虹口·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 18．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数 (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 (2)若，求的取值范围. 19．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且. (1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积； (2)记为，为，求的值. 20．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． (1)求函数的表达式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 21．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，    (1)请用来表示平行四边形的面积； (2)若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角+三角函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一下·全国·课前预习）三角形的面积公式 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 2．（24-25高一下·全国·课前预习）正弦定理 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）函数的最大值为 . 【答案】1 【分析】先利用诱导公式把函数化成的形式，再结合正弦函数的值域求函数的最大值. 【详解】因为， 所以（当，即，取“”）. 故答案为：1 4．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的定义求解即可. 【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以， 所以， 即， 所以，所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】根据三角函数的定义，. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已如函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】找到函数图象上的点代入到解析中求解即可. 【详解】因为函数图象经过点，所以即, 所以，又因为，所以, 故答案为：. 7．（2025高一·上海·专题练习）如图，已知D为线段BC的延长线上一点，且，，，则 ． 【答案】 【分析】在和中，分别利用正弦定理可得，，进而得到，进而求解即可. 【详解】设，，， 则在，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以，所以， 又，所以，故． 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海闵行·课堂例题）φ对函数的图象的影响 一般地，函数的定义域为______，值域为______，周期是______． 【答案】左；右；； R ；；2π. 【分析】略 【详解】略 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知米，米（），线段、线段、弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度，则关于的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式. 【详解】根据题意，利用弧长公式可知（米），（米）， 整理得：， 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海静安·期末）函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为 .    【答案】 【分析】首先读出，根据周期求出，再由函数过点求出，即可得解. 【详解】由图可知，，所以，又，解得， 所以， 又函数过点，所以，则， 即，又，所以， 所以. 故答案为： 11．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 【答案】 【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可. 【详解】解：过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以， 解得， 所以， 在中，， 所以， 所以. 故答案为： 12．（23-24高一下·上海长宁·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是 ． 【答案】17 【分析】根据给定条件，设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，借助对称性求出，再结合两个相邻座舱对应弧所对圆心角即可得解. 【详解】设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，，只需考查旋转的第一周内即可， 而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为， 摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为，甲家庭的座舱转过的弧度数为， 依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以的最小值是17. 故答案为：17 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（2025高一·上海·专题练习）函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法求解. 【详解】解：由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故，故排除D项； 当时，，故，故排除B项. 故选：A. 14．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，然后由图中阴影区域的面积为求解. 【详解】连接，，，因为， 所以， ，    在中，由余弦定理得 ， 因为， 所以， 解得， 所以， ， 扇形OBC的面积为： 所以图中阴影区域的面积为. 故选：B. 15．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，令即可求解. 【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为， 由图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点的角度小于， 又筒车的角速度为2rad/min，所以所需的时间为，故A错误； 由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下： ， 令，即，解得， 又，可得， ，故D正确； ， ，故C错误； 又，解得，故B错误； 故选：D. 16．（23-24高一下·上海虹口·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【详解】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角公式得出齐次式，求解即可； （2）由两角差的正切公式求得，再根据两角和与差的正弦余弦公式将化为齐次式，代入求解即可． 【详解】（1） ，． （2）因为， 所以． 18．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数 (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据五点作图法求解即可； （2）结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1） 0 x 0 2 0 0 . （2）由，即，得， 则，， 解得，， 所以不等式的解集为 19．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且. (1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积； (2)记为，为，求的值. 【答案】(1)nmile；nmile2. (2) 【分析】（1）在和中利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式四边形的面积； （2）在和中利用余弦定理可得，再利用二倍角公式计算，最后利用两角和差的正弦公式计算. 【详解】（1）为钝角，且得， 因，则，, 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 将代入得或（舍）， 或（舍）， 则小岛A与小岛D之间的距离为nmile，四个小岛所围成的四边形的面积为nmile2 （2）在中利用余弦定理得， ，因， 则， 则，， 则. 20．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． (1)求函数的表达式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图得出点的坐标，再求数量积即可； （2）令，即可求的单调递减区间； （3）先求出范围，结合正弦函数图象知，解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知，，， 则，故， 则. （2）， 令， 得， 故的单调递减区间为. （3）若在上仅存在两个零点， 则在上仅存在两个根， ，则， 结合正弦函数图象知，，得， 则的取值范围为． 21．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，    (1)请用来表示平行四边形的面积； (2)若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐标，利用的三角函数来表示，再由三角函数的性质即可求得的范围. 【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，，则，    所以， 所以 （2）①若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. ②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即    又，则 因，即， 则，， 解得：，， ， 由点是弧上一动点，则，则， 所以即. 则的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$