期中押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：三角+三角函数全部内容）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

期中押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角+三角函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则= ． 2．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）在中，，，，为的一条高线，则 ． 3．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 4．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为 （写出一个满足条件的的值即可） 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是 . 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数在一个周期内的图象如图所示．已知点是图象上的最低点，是图象上的最高点．记（均为锐角）， ． 7．（24-25高一下·全国·课堂例题）当函数表示一个物体做简谐运动时的位移时， （1）|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离，称为 ； （2）φ在决定x＝0时物体的位置（即）中起关键作用，称为 ； （3）周期T＝ 表示物体完成一次运动所需要的时间．f＝ ＝ 表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率． 8．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ． 9．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为 . 10．（2025·上海松江·一模）如图：在中，，，三点分别在边，，上，则，，的外接圆交于一点，称点为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形中，，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为 . 11．（24-25高一下·上海·阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是 . ① ② ③若，则 ④函数的最大值为 12．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，有三个相同的正方形相接，若，则（    ） A． B．1 C． D． 14．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）函数在某一周期内的大致图象为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 16．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 18．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，求函数的解析式． 19．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 20．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数，. (1)填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象； 0 0 0 0 (2)函数的最小正周期_____； (3)求函数的单调增区间和对称中心. x 0 0 2 0 0 21．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）在某次数学课上，小朱老师带大家做函数性质卡片，并提供了一样范例. 函数解析式：； 定义域：； 值域：__________ 是否具有线性：曲线 奇偶性：____________ 最小正周期：__________ 单调区间：______________ (1)请完成对小朱老师制作的卡片填写； (2)根据该卡片格式，在上面方框内绘制函数性质卡片. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角+三角函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则= ． 【答案】/ 【分析】利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 2．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）在中，，，，为的一条高线，则 ． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求出，再根据即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的正弦，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可. 【详解】在中，由，，得，则， 则的外接圆半径，所以的外接圆面积为. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为 （写出一个满足条件的的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】直接利用三角函数图象的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用图象的对称轴即可求解． 【详解】的图象向右平移个单位长度，得到， 得到的函数图象关于轴对称，则：，， 解得：，当时，． 故答案为：（答案不唯一） 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对称性求得，结合对数函数的性质求得正确答案. 【详解】不妨设，画出的图象如下图所示， ，所以. 令，解得， 所以，所以. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数在一个周期内的图象如图所示．已知点是图象上的最低点，是图象上的最高点．记（均为锐角）， ． 【答案】 【分析】结合图象计算周期即可得出点坐标，然后计算，利用二倍角公式计算，最后利用两角和差的正切公式计算. 【详解】和在图象上，则，则， 则点的横坐标为， 因是图象上的最低点，则， 则 则， 则. 故答案为：. 7．（24-25高一下·全国·课堂例题）当函数表示一个物体做简谐运动时的位移时， （1）|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离，称为 ； （2）φ在决定x＝0时物体的位置（即）中起关键作用，称为 ； （3）周期T＝ 表示物体完成一次运动所需要的时间．f＝ ＝ 表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率． 【答案】 振幅 初相 【分析】略 【详解】略 8．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【分析】将小正方形与大正方形的面积之比表示关于的三角函数，从而可求，再结合同角关系求的值. 【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 故，故 所以， 故，所以， 即， 故或，因为，故， 所以， 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为 . 【答案】 【分析】结合图形，由两角差的正弦展开式结合诱导公式可求. 【详解】由题意可得，，，， 所以， 所以 . 故答案为： 10．（2025·上海松江·一模）如图：在中，，，三点分别在边，，上，则，，的外接圆交于一点，称点为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形中，，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知条件确定正三角形，利用外接圆公共点确定点Q的位置，再结合外心和外接圆半径等条件，通过余弦定理求出线段BD的长度，最后根据点与圆的位置关系求出BQ的最小值. 【详解】延长，交于点，则由题可知为正三角形，为正三角形， 由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点，故点在的外接圆上， 如上图，又由题可知，即为的外心，且外接圆半径为2，， 在中，由余弦定理，所以的最小值为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海·阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是 . ① ② ③若，则 ④函数的最大值为 【答案】②③ 【分析】利用正矢、余矢的定义及诱导公式、同角三角函数的基本关系，三角函数的有界性计算即可. 【详解】，①错误； ，②正确； 则 分子分母同除以得： ，③正确； 当时，取得最大值为4，④错误. 故答案为：②③ 12．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】当时，求出的长，利用三角形的面积公式可判断①；利用函数的单调性可判断②；推导出，可判断③. 【详解】设交正方形于点，如图所示： 对于①，当时，因为，则， ,故①正确； 对于②，不妨设， 则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即， 所以，， 因为即，所以，，故②错误； 对于③，根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积， 所以，表示正方形的面积，即， 故当时，则，，且， 所以，成立，故③正确. 故答案为：①③. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，有三个相同的正方形相接，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出和的值，再由正切函数的两角和的正切公式即可得结果. 【详解】设正方体边长为1，由图可得，， 则， 故选：B. 14．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）函数在某一周期内的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数性质结合图象利用排除法可得答案. 【详解】由题可知，的最小正周期，排除B，D．因为，所以排除A． 故选：C． 15．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 16．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 故选：A 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先判断角的象限，再根据同角三角函数的平方关系求解即可； （2）用已知角表示所求角，再根据两角和的正弦公式，两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为均为锐角，所以. 又， 所以，. （2）根据第（1）问可知： ， . 18．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，求函数的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简函数的解析式，结合关系列方程求； （2）由（1）可得函数的最大值和最小值，结合函数的单调性及取最值的条件可求函数的周期，利用周期公式求，结合关系求，由此可得结论． 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以，又， 所以. （2）由（1）， 所以的最大值为，最小值为. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即，又， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 所以. 19．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 【答案】(1) (2)15km 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【详解】（1）由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 （2），,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 20．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数，. (1)填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象； 0 0 0 0 (2)函数的最小正周期_____； (3)求函数的单调增区间和对称中心. 【答案】(1)见解析 (2) (3)单调递增区间：，；对称中心：. 【分析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可； (2)根据正弦函数的周期公式计算即可； (3)利用整体代入法结合正弦函数的周期性和对称性求解即可. 【详解】（1） x 0 0 2 0 0 函数图象如图所示， （2）由，可知； （3）令，， 得，. 所以函数的单调递增区间：，. 令，得， 即的对称中心为：. 21．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）在某次数学课上，小朱老师带大家做函数性质卡片，并提供了一样范例. 函数解析式：； 定义域：； 值域：__________ 是否具有线性：曲线 奇偶性：____________ 最小正周期：__________ 单调区间：______________ (1)请完成对小朱老师制作的卡片填写； (2)根据该卡片格式，在上面方框内绘制函数性质卡片. 【答案】(1)[1，]；偶函数； ；单调增区间：[2k，2k]，单调减区间：[2k，2k]， (2)答案见解析 【分析】对于函数，利用可判断奇偶性，利用，分类讨论可求得的值域，单调性，最小正周期；类似可得的性质. 【详解】（1）因为，所以函数是偶函数， 因为，所以是的周期， 当时，， 由，得，所以，所以； 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以是最小正周期；所以的单调增区间为：，；单调减区间为：，； 故答案为：；偶函数；；单调增区间：，；单调减区间：，； （2）因为，所以函数是偶函数， 因为，所以是的周期函数， 当时，， 由，得，所以，所以； 所以在上单调递增， 当时，， 由，得，所以，所以； 所以在上单调递减， 所以是最小正周期；所以的单调增区间为：，；单调减区间为：，； 综上所述：函数的性质卡片如下： 函数解析式：； 定义域：； 值域：； 是否具有线性：曲线； 奇偶性：偶函数； 最小正周期：； 单调区间：单调增区间：，；单调减区间：，. 学科网（北京）股份有限公司 $$