课后提升练(18) 古典概型（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

课后提升练(十八)　古典概型 [对应学生用书P160] 1．(多选题)下列关于古典概型的说法正确的是(　　) A．试验中所有可能出现的样本点只有有限个 B．每个事件出现的可能性相等 C．每个样本点出现的可能性相等 D．若样本点总数为n，随机事件A包含k个样本点，则P(A)＝ ACD　解析：古典概型中基本事件发生的可能性相等，故B错误． 2．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡片是7的倍数的概率是(　　) A．　　 B．　　 C．　 　 D． C　解析：∵n＝100，m＝14，∴P＝＝＝. 3．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　) A． B． C． D． B　解析：从1，2，3，4中任取2个不同的数，样本空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点，而事件“2个数之差的绝对值为2”的样本点只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)共4个，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为＝. 4．甲、乙、丙三个人站成一排，甲站在中间的概率是(　　) A． B． C． D． C　解析：样本空间为{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，共6个样本点，甲站在中间的事件有2个，故P(甲)＝＝. 5．用3种不同的颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为(　　) A． B． C． D． C　解析：三种不同的颜色分别用A，B，C表示，随机事件所包含的基本事件有：{A，A}，{A，B}，{A，C}，{B，A}，{B，B}，{B，C}，{C，A}，{C，B}，{C，C}，共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，则两个小球颜色不同的概率为P＝＝. 6．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是________． 　解析：将一骰子连续抛掷两次，可能出现的样本点共有6×6＝36个，其中至少有一次向上的点数为1的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，共11个，∴所求概率P＝. 7．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________． 　解析：样本点共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)10种情况．相差0.3 m的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)两种情况，∴P＝. 8．一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1，2，3，4，5.从中任取一个，记下号码后放回．再取出1个，记下号码后放回，按顺序记录为(x，y)， (1)求所得两球的和为6的概率； (2)求所得两球的和是3的倍数的概率． 解：列出所有的基本事件，共25个，如图所示． (1)由图可直观地看出“所得两球的和为6”包含5个基本事件：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)， 故所求概率为＝. (2)“两球的和为3的倍数”包含(2，1)，(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(5，1)，(4，2)，(4，5)，(5，4)共9个基本事件．故所求概率为. 9．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答． 求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率． 解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4，2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题的基本事件为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共有15个；并且这些基本事件的出现是等可能的，记事件A为“张同学所取的2道题都是甲类题”， 则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个， 所以P(A)＝＝. (2)解法一　基本事件同(1).记事件B为“张同学所取的2道题不是同一类题”，则B包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P(B)＝. 解法二　记事件C为“张同学所取的2道题都是乙类题”， 则事件C包含的基本事件有{5，6}，则P(C)＝1. ∴所求概率P＝1－[P(A)＋P(C)]＝1－(＋)＝. 10．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是(　　) A． B． C． D． A　解析：样本空间为{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)}，有4个样本点，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一个，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝. 11．(多选题)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是(　　) A．颜色相同 B．颜色不全同 C．颜色全不同 D．无红球 ACD　解析：有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有3种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为. 12．古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为________. 　解析：试验所含的样本点有{金，木}、{金，水}、{金，火}、{金，土}、{木，水}、{木，火}、{木，土}、{水，火}、{水，土}、{火，土}共10个．“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”之外的都不相克，共有5种，故抽取到的两种物质不相克的概率为＝. 13．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 解：甲校两男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E，F表示． (1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为： (A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种， 从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种， 所以选出的2名教师性别相同的概率为. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种． 从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种， 所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝. 14．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)求频率分布图中a的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率； (3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50)的概率． 解：(1)由频率分布直方图可知：(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006. (2)由频率分布直方图可知，评分不低于80分的频率为：(0.022＋0.018)×10＝0.4， 所以该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4. (3)受访职工中评分在[50，60)的有；50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，记为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50]的结果只有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝. 15．某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 解：用数对(x，y)表示儿童两次转动转盘记录的数，其活动记录与奖励情况如下： 显然，样本空间包含的样本点总数为16. (1)xy≤3的情况有5种， 所以小亮获得玩具的概率＝. (2)xy≥8的情况有6种， 所以获得水杯的概率＝＝. 小亮获得饮料的概率＝1－－＝<. 即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$