课后提升练(7) 对数函数性质的应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

课后提升练(七)　对数函数性质的应用 [对应学生用书P131] 1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为(　　) A.(2，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，2) C.[2，＋∞) D．[3，＋∞) C　解析：∵函数t＝log2x在[1，＋∞)是增函数，∴当x≥1时，log2x≥log21＝0，∴y＝2＋log2x≥2. 2．三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为(　　) A.log20.8<0.993.3<log3π B.log20.8<log3π<0.993.3 C.0.993.3<log20.81<log3π D.log3π<0.993.3<log20.8 A　解析：∵0<0.993.3<1，log3π>1，log20.8<0， ∴log20.8<0.993.3<log3π. 3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　) A. B．(0，1] C.(0，＋∞) D．[1，＋∞) D　解析：f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞). 4．定义在R上的函数f(x)＝ln (＋x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数 A　解析：f(x)＋f(－x)＝ln (＋x)＋ln (－x)＝ln [(＋x)(－x)]＝ln (1＋x2－x2)＝ln 1＝0，∴f(x)是定义在R上的奇函数． 5．loga<1(a>0且a≠1)，则a的取值范围为________． (0，)∪(1，＋∞)　解析：∵loga<1， 当a>1时，∵loga<0，故不等式成立． 当0<a<1时，不等式即loga<logaa，∴0<a<， 综上，a的取值范围为(0，)∪(1，＋∞). 6．已知log0.45(x＋2)>log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________． 　解析：原不等式等价于解得－2<x<. 7．函数f(x)＝lg (2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________． b≤1　解析：由题意得：当x≥1时，2x－b≥1恒成立， 又当x≥1时，2x≥2，∴b≤1. 8．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)的图象经过的(9，2). (1)求实数a的值； (2)如果不等式f(x＋1)<1成立，求实数x的取值范围． 解：(1)因为loga9＝2，所以a2＝9， 因为a>0，所以a＝3. (2)因为f(x＋1)<1， 即log3(x＋1)<1， 所以log3(x＋1)<log33， 所以解得：－1<x<2， 所以实数x的取值范围是{x|－1<x<2}． 9．已知f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x) (1)求函数f(x)的定义域； (2)证明函数f(x)是奇函数． 解：(1)使解析式有意义的x范围是满足不等式组解得－1<x<1，所以函数的定义域为(－1，1). (2)由(1)得到函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称． 又f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x) ＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x)， 由上可知此函数为奇函数． 10．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则(　　) A.a<c<b B．b<c<a C.a<b<c D．b<a<c D　解析：∵y＝log5x是增函数， ∴log53<log54<log55＝1， y＝log4x是增函数，∴log45>log44＝1， ∴log53<log54<log45. 11．(多选题)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　) A.当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.f(x)一定有最小值 C.当a＝0时，f(x)的值域为R D.若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} AC　解析：对A，当a＝0时，解x2－1＞0得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确； 对B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)， 此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)， f(x)＝lg (x2－1)值域为R，故B错误，C正确； 对D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增， 则y＝x2＋ax－a－1对称轴x＝－≤2，解得a≥－4， 但当a＝－4时，f(x)＝lg (x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误． 12．已知f(x)＝|ln x|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则下列说法正确的是(　　) A.0<ab<1 B．ab＝1 C.ab>1 D．ab与1的大小不确定 B　解析：由题意， 可得函数f(x)＝|ln x|＝ 画出f(x)的图象，如图所示， 因为0<a<b且f(a)＝f(b)，所以0<a<1<b， 所以－ln a＝ln b， ∴ln (ab)＝0，∴ab＝1. 　 13．当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A. B． C.(1，) D．(，2) B　解析：由题意得，当0<a<1时，要使得4x<logax，即当0<x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图象过点，把点代入y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需<a<1(如图所示). 当a>1时，不符合题意，舍去． 所以实数a的取值范围是. 14．函数f(x)＝lg (9－x2)的定义域为________；其单调递增区间为________． (－3，3)　(－3，0]　解析：对于函数f(x)＝lg (9－x2)，令t＝9－x2>0，解得－3<x<3，可得函数的定义域为(－3，3). 令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg (g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(－3，0]. 所以函数f(x)＝lg (9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]. 15．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围； (3)若关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解，求k的取值范围． 解：(1)函数f(x)＝log的图象关于原点对称， ∴f(x)＋f(－x)＝0，即log＋log＝0， ∴log＝0，∴×＝1恒成立， 即1－a2x2＝1－x2，即(a2－1)x2＝0恒成立， 所以a2－1＝0，解得a＝±1， 又a＝1时，f(x)＝log无意义， 故a＝－1. (2)x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，即log＋log(x－1)<m， ∴log(x＋1)<m在(1，＋∞)上恒成立， 由于y＝log(x＋1)是减函数，故当x＝1时，函数取到最大值－1， ∴m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞). (3)f(x)＝log在[2，3]上是增函数， g(x)＝log(x＋k)在[2，3]上是减函数， ∴只需即可保证关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解，解此不等式组． 代入函数解析式得， 解得－1≤k≤1， 即当k∈[－1，1]时关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解． 学科网（北京）股份有限公司 $$