5.3.5 随机事件的独立性（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5.3.5　随机事件的独立性 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 必备知识 自主学习 相互独立 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 课程标准 学科素养 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义． 2．结合古典概型，利用独立性计算概率． 3．会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率． 通过学习随机事件的独立性，提升数学抽象、数据分析、数学运算、数学建模的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点　相互独立事件) 一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．如果事件A与B相互独立，则， eq \o(A,\s\up16(－)) 与B，A与 eq \o(B,\s\up16(－)) ， eq \o(A,\s\up16(－)) 与 eq \o(B,\s\up16(－)) 也____________． 1．若事件A，B相互独立，且P(A)＝P(B)＝ eq \f(3,4) ，则P(AB)＝(　　) A．0　　　　　　　　 B． eq \f(1,16) C． eq \f(9,16) D． eq \f(1,2) C　解析：因为事件A，B相互独立， 故P(AB)＝P(A)·P(B)＝ eq \f(3,4) × eq \f(3,4) ＝ eq \f(9,16) . 2．若A与B相互独立，则下面不相互独立的事件是(　　) A．A与 eq \o(A,\s\up16(－)) B．A与 eq \o(B,\s\up16(－)) C． eq \o(A,\s\up16(－)) 与B D． eq \o(A,\s\up16(－)) 与 eq \o(B,\s\up16(－)) A　解析：A与 eq \o(A,\s\up16(－)) 是对立事件，不是相互独立事件． eq \a\vs4\al(探究一　相互独立事件的判断) 假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，判断A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率都为 eq \f(1,4) . 这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝ eq \f(1,2) ，P(B)＝ eq \f(3,4) ，P(AB)＝ eq \f(1,2) . 此时P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A与事件B不独立． (2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个样本点的概率均为 eq \f(1,8) ，这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点． 于是P(A)＝ eq \f(6,8) ＝ eq \f(3,4) ，P(B)＝ eq \f(4,8) ＝ eq \f(1,2) ，P(AB)＝ eq \f(3,8) ，显然有P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(3,8) 成立．从而事件A与事件B相互独立． 两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练1]　判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)掷一枚骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”； (2)掷一枚骰子一次，事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现3点或6点”； (3)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到白球”． 解：(1)二者不可能同时发生，所以事件M与N是互斥事件． (2)基本事件Ω＝{1，2，3，4，5，6}， 事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}， 事件AB＝{6}，P(A)＝ eq \f(1,2) ，P(B)＝ eq \f(1,3) ， P(AB)＝ eq \f(1,6) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ，即P(AB)＝P(A)P(B)， 故事件A与事件B相互独立，A，B不是互斥事件． (3)事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故事件M与N是相互独立事件． eq \a\vs4\al(探究二　相互独立事件同时发生的概率) 甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率？ 解：甲射中目标与乙射中目标是相互独立事件．记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B， eq \o(A,\s\up16(－)) 与B，A与 eq \o(B,\s\up16(－)) ， eq \o(A,\s\up16(－)) 与 eq \o(B,\s\up16(－)) 为相互独立事件． (1)2人都射中的概率为：P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72，∴2人都射中目标的概率是0.72. (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件A· eq \o(B,\s\up16(－)) 发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件 eq \o(A,\s\up16(－)) ·B发生).根据题意，事件A· eq \o(B,\s\up16(－)) 与 eq \o(A,\s\up16(－)) ·B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A· eq \o(B,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) ·B)＝P(A)·P( eq \o(B,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) )·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26. (3)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为P＝P(A·B)＋[P(A· eq \o(B,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) ·B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (法2)：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是P( eq \o(A,\s\up16(－)) · eq \o(B,\s\up16(－)) )＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) )·P( eq \o(B,\s\up16(－)) )＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为P＝1－P( eq \o(A,\s\up16(－)) · eq \o(B,\s\up16(－)) )＝1－0.02＝0.98. (4)(法1)：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为： P＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) · eq \o(B,\s\up16(－)) )＋P(A· eq \o(B,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) ·B) ＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) )·P( eq \o(B,\s\up16(－)) )＋P(A)·P( eq \o(B,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) )·P(B) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. (法2)：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为P＝1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－0.72＝0.28. 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练2]　甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为(　　) A．0.42　　 B．0.28　　 C．0.18　　 D．0.12 D　解析：∵甲、乙考试相互独立，∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为：P＝(1－0.6)(1－0.7)＝0.12. eq \a\vs4\al(探究三　相互独立事件概率的应用) 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为 eq \f(2,5) ， eq \f(3,4) ， eq \f(1,3) ，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则 (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大． 解：记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝ eq \f(2,5) ，P(B)＝ eq \f(3,4) ，P(C)＝ eq \f(1,3) . 设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3) (1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝ eq \f(2,5) × eq \f(3,4) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,10) . (2)三人都不合格的概率：P0＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)) )＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) )·P( eq \o(B,\s\up16(－)) )·P( eq \o(C,\s\up16(－)) )＝ eq \f(3,5) × eq \f(1,4) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,10) . (3)恰有两人合格的概率：P2＝P(AB eq \o(C,\s\up16(－)) )＋P(A eq \o(B,\s\up16(－)) C)＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) BC)＝ eq \f(2,5) × eq \f(3,4) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,4) × eq \f(1,3) ＋ eq \f(3,5) × eq \f(3,4) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(23,60) . 恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－ eq \f(1,10) － eq \f(23,60) － eq \f(1,10) ＝ eq \f(25,60) ＝ eq \f(5,12) . 综合(1)(2)(3)可知P1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大． 将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件). [训练3]　掷三颗骰子，试求： (1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率； (2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． 解：设三颗骰子出现1点或6点的事件分别依次记作事件A，事件B，事件C，由已知A、B、C是相互独立事件，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝ eq \f(1,3) . (1)没有1颗骰子出现1点或6点，也就是事件A、B、C全不发生，即事件 eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)) ，所以所求概率为： P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)) )＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) )P( eq \o(B,\s\up16(－)) )P( eq \o(C,\s\up16(－)) )＝ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(8,27) . (2)恰好有1颗骰子出现1点或6点，即A发生B不发生C不发生或A不发生B发生C不发生或A不发生B不发生C发生，用符号表示为事件A eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)) ＋ eq \o(A,\s\up16(－)) B eq \o(C,\s\up16(－)) ＋ eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) C，所示概率为：P(A eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)) ＋ eq \o(A,\s\up16(－)) B eq \o(C,\s\up16(－)) ＋ eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) C) ＝P(A eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) B eq \o(C,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) C) ＝P(A)P( eq \o(B,\s\up16(－)) )P( eq \o(C,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) )P(B)P( eq \o(C,\s\up16(－)) )＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) )P( eq \o(B,\s\up16(－)) )P(C) ＝ eq \f(1,3) × eq \f(2,3) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,3) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(12,27) ＝ eq \f(4,9) . 1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 答案：A 2．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 eq \f(1,3) ，视力合格的概率为 eq \f(1,6) ，其他几项标准合格的概率为 eq \f(1,5) ，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　) A． eq \f(5,9) 　　　　　　　　 B． eq \f(4,9) C． eq \f(1,90) D． eq \f(4,5) 答案：C 3．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为 eq \f(1,5) ， eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ，则此密码能译出的概率是(　　) A． eq \f(1,60) B． eq \f(2,5) C． eq \f(3,5) D． eq \f(59,60) 答案：C 4．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________． 答案：0.65 5．已知A,B是相互独立事件,且P(A)＝ eq \f(1,2) ，P(B)＝ eq \f(2,3) ，求P(A eq \o(B,\s\up16(－)) )和P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) ). 解：∵A，B是相互独立事件， ∴A与 eq \o(B,\s\up16(－)) ， eq \o(A,\s\up16(－)) 与 eq \o(B,\s\up16(－)) 也是相互独立事件． 又∵P(A)＝ eq \f(1,2) ，P(B)＝ eq \f(2,3) ， 故P( eq \o(A,\s\up16(－)) )＝ eq \f(1,2) ，P( eq \o(B,\s\up16(－)) )＝1－ eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,3) ， ∴P(A eq \o(B,\s\up16(－)) )＝P(A)P( eq \o(B,\s\up16(－)) )＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) ； P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) )＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) )P( eq \o(B,\s\up16(－)) )＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) . $$