5.3.5随机事件的独立性同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

5．3.5　随机事件的独立性 1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　) A.互斥事件 B．相互独立事件 C.对立事件 D．不是相互独立事件 2．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为(　　) A.　　　B． C．　　　D． 3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　) A.　　　B． C．　　　D． 4．两个人通过某项专业测试的概率分别为，，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________． 5．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________． 6．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率． 7．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%，3%，5%，3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为(　　) A.22.5% B．15.5% C.15.3% D．12.4% 8．(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(　　) A.P(B)＝ B．P(A∪B)＝ C.P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C) 9．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　) A. B． C. D． 10．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又独立 11．(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有(　　) A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球” C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同” D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面” 12．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，求灯亮的概率． 13．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝________；当A，B互斥时，P(A＋B)＝________． 14．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表： 预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 费用(万元) 90 60 30 10 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大． 参考答案与解析 1．答案：D 解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件． 2．答案：C 解析：两户中至少有一户获得扶持资金的概率为P＝×＋×＋×＝. 3．答案：D 解析：由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]， ∴P(A)＝P(B).又P( )＝， ∴P()＝P()＝，∴P(A)＝. 4．答案： 解析：二人均通过的概率为×＝， ∴至多有一人通过的概率为1－＝. 5．答案：　 解析：甲、乙两人都未能解决的概率为 (1－)(1－)＝×＝， 问题得到解决就是至少有1人能解决问题， ∴P＝1－＝. 6．解析：设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9. (1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72. (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26. (3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为P＝P()＋P(A)＋P(B)＝P()P()＋P(A)P()＋P()P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 7．答案：D 解析：四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设“加工出来的零件是次品”为事件A，则P()＝(1－2%)×(1－3%)×(1－5%)×(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率为12.4%. 8．答案：ABC 解析：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝，P(A)＝，P(C)＝则P(A∪B)＝，故A、B，C正确，D错误．故选ABC. 9．答案：A 解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝. 10．答案：C 解析：因为P()＝， 所以P(A)＝， 又P(B)＝，P(AB)＝， 所以有P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A与B相互独立但不互斥． 11．答案：CD 解析：A中，M，N是互斥事件，不相互独立；B中，M，N不是相互独立事件；C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件；D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件． 12．解析：记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件， 则P()＝P(A)＋P(B)＋P( )＝， 则灯亮的概率为P＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－＝. 13．答案：0.65　0.8 解析：当A，B相互独立时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65. 当A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)＝0.8. 14．解析：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元，由题表可知，采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9. 方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元．由题表可知，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率为1－(1－0.9)×(1－0.7)＝0.97. 联合甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施，此突发事件不发生的概率均小于0.97. 所以联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.97. 方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元， 故只能联合乙、丙、丁三种预防措施． 此时突发事件不发生的概率为 1－(1－0.8)×(1－0.7)×(1－0.6)＝0.976. 由三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$