5.3.3 古典概型（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5．3.3　古典概型 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 必备知识 自主学习 有限性 等可能性 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 课程标准 学科素养 1.结合具体实例，理解古典概型及其两个特征． 2．能计算古典概型中简单随机事件的概率． 3．掌握求解古典概型问题的一般思路． 通过对古典概型的学习，提升数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　古典概型) 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为__________)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为____________)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型． 1．下列试验中，是古典概型的有(　　) A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四位同学用抽签法选一人参加会议 D．运动员投篮，观察是否投中 C　解析：A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不等，所以D不是古典概型． 2．下列试验中是古典概型的是(　　) A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 B　解析：根据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4个球；C项中，点落在圆内的样本点个数是无限的；D项中，射击命中环数的概率也不一定相等． eq \a\vs4\al(知识点2　古典概型的概率公式) 假设样本空间含有n个样本点，事件C包含有m个样本点，则P(C)＝____． eq \f(m,n) 1．(教材改编)若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本外文书的概率为(　　) A． eq \f(1,5) 　　　 B． eq \f(3,10) 　　　 C． eq \f(2,5) 　　　 D． eq \f(1,2) D　解析：抽到的外文书，可能是英文书或日文书， 所以P＝ eq \f(3,10) ＋ eq \f(2,10) ＝ eq \f(1,2) . 2．从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字中含有3为事件A，则P(A)＝________． eq \f(2,3) 　解析：从1，2，3中任取两个数字有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个基本事件；事件A包含(1，3)，(2，3)，共2个基本事件，则P(A)＝ eq \f(2,3) . eq \a\vs4\al(探究一　古典概型的判断) 下列概率模型是否为古典概型． (1)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球，有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个样本点，是否为古典概型？ (2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上，将豆子所落的位置看作一个样本点，是否是古典概型？ (3)一名射击运动员射击，把击中的环数看成样本点，是否是古典概型？ 解： (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸到的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型． (2)由于豆子落在桌面上的位置有无数个，即有无数个样本点，所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型． (3)由于运动员击中每一环的可能性不同，故以击中的环数为样本点的概率模型不是古典概型． 1．有限性：判断试验的样本空间包含的样本点是否是有限个，若样本点无限个，即不可数，则不是古典概型． 2．等可能性：考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则不是古典概型． 只有同时具备了上述两个特征，才是古典概型 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练1]　下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　) (1)从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； (2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； (3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率； (4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 A　解析：第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1，10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”；第2个概率模型是古典概型，因为试验的样本空间有10个样本点，而且每个样本点被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型，因为在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，所以不满足“有限性”；第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等． eq \a\vs4\al(探究二　古典概型的概率公式) 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求： (1)点数之和是4的倍数的概率； (2)点数之和大于5且小于10的概率． 解：从图中容易看出，样本点与所描点一一对应，共36个． (1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有9个，A＝{(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)}，所以P(A)＝ eq \f(1,4) . (2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的样本点共有20个(已用虚线圈出)，所以P(B)＝ eq \f(20,36) ＝ eq \f(5,9) . 应用公式计算概率的步骤 (1)判断试验是否是古典概型； (2)求出试验的样本空间包含的样本点总数n； (3)求出事件A所包含的样本点个数m； (4)代入公式：P(A)＝ eq \f(m,n) eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练2]　某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X、Y、Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) (1)用表中字母列举出试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2)设M＝“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率． 解：(1)从6名同学中选出2人，对应的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}，共有15个样本点． 由于每人被选到的可能性相同，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型． (2)因为M＝{(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)}，所以n(M)＝6， 从而P(M)＝ eq \f(6,15) ＝ eq \f(2,5) . eq \a\vs4\al(探究三　较复杂的古典概型概率的计算问题) 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球． (1)若从中一次性任意摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率； (2)若采用不放回简单随机抽样从中任取两个球，一个球给小朋友甲，一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有一个黑球的概率； (3)若采用有放回简单随机抽样从中任取两个球，一个球给小朋友甲，一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球至少有一个黑球的概率． 解： (1)从中一次性任意摸出2个球，样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共有10个样本点，设A＝“恰有一个黑球和一个红球”，则A＝{(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共6个样本点，∴P(A)＝ eq \f(6,10) ＝ eq \f(3,5) . (2)采用不放回简单随机抽样从中任取两个球，一个给甲，一个给乙，用(x，y)表示样本点，x表示给甲的小球编号，y表示给乙的小球编号．则样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)}，共有20个样本点，设B＝“甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有一个黑球”，则B＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)}，共14个样本点，∴P(B)＝ eq \f(14,20) ＝ eq \f(7,10) . (3)采用有放回简单随机抽样从中任取两个球，用(x，y)表示样本点，x表示给甲的小球编号，y表示给乙的小球编号．则样本空间Ω＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，(e，e)}，共有25个样本点，B＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)}，共有16个样本点，∴P(B)＝ eq \f(16,25) . 求解古典概型问题的一般思路 1．明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)； 2．根据实际问题情境判断样本点的等可能性； 3．计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练3]　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中任意抽取2件． (1)分别写出不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样的样本空间； (2)在两种抽样方式下，分别计算抽到的两件产品中恰有1件次品的概率． 解：(1)根据相应的抽样方法可知，不放回简单随机抽样的样本空间Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 有放回简单随机抽样的样本空间Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}． (2)设事件A＝“两件产品中恰有一件次品”，则对于不放回简单随机抽样，A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，共4个样本点．∴P(A)＝ eq \f(4,6) ＝ eq \f(2,3) . 对于有放回简单随机抽样，A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，共4个样本点．∴P(A)＝ eq \f(4,9) . eq \a\vs4\al(探究四　古典概型与其他知识结合) 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂． (1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率． 解：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为 eq \f(7,63) ＝ eq \f(1,9) ，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2. (2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机抽取2个，所有可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共21种． 随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝ eq \f(11,21) . 本题考查分层抽样以及古典概型概率求解的综合运用，在求解古典概型问题时，要认真分析条件，确保隐含条件挖掘到位 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练4]　某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6× eq \f(21,21＋14＋7) ＝3；从中学中抽取的学校数目为6× eq \f(14,21＋14＋7) ＝2；从大学中抽取的学校数目为6× eq \f(7,21＋14＋7) ＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1. (2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15个． ②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个， 所以P(B)＝ eq \f(3,15) ＝ eq \f(1,5) . 1．下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚质地不均匀硬币首次出现正面为止 答案：C 2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有(　　) A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 3．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为(　　) A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3) 答案：B 4．一次掷两枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________． 答案： eq \f(11,12) 5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球． (1)共有多少个样本点？ (2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？ 解：(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5). 因此，共有10个样本点． (2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)， 即(1，2)，(1，3)，(2，3)， 故P(A)＝ eq \f(3,10) . 故摸出2只球都是白球的概率为 eq \f(3,10) . $$