5.3.2 事件之间的关系与运算（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5.3.2　事件之间的关系与运算 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 必备知识 自主学习 A⊆B B⊇A 必要 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 A⊆B且B⊆A 充要 ≤ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 至少有一个 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 都发生 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 互斥 P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 1 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第五章　统计与概率 课程标准 学科素养 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义． 2．能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3．学会用集合的关系与运算探究事件的关系与运算． 通过对事件之间的关系与运算的学习，强化数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　事件的包含与相等) 1．一般地，如果事件A发生时，事件B 一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作__________(或__________). 2．A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的__________条件． 3．如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.不难看出A＝B⇔_____________，A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的________条件． 4．当A⊆B时，有P(A) ____P(B).当A＝B时，有P(A)＝P(B). 同时抛掷两枚硬币，朝上的面都是正面为事件M，朝上的面至少有一枚是正面为事件N，则有(　　) A．M⊆N　 B．M⊇N　 C．M＝N　 D．M<N A　解析：因为事件M＝{(正，正)}，N＝{(正，反)，(反，正)，(正，正)}，当M发生时，事件N一定发生．所以有M⊆N. eq \a\vs4\al(知识点2　事件的和（并）) 1．给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B).事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中_______________发生． 2．P(A＋B)≤P(A)＋P(B). 　抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝“向上的点数是1”，事件Q＝“向上的点数是3或4”，用集合表示P∪Q＝________． {1，3，4}　解析：因为事件P＝{1}，Q＝{3，4}， 所以P∪Q＝{1，3，4}． eq \a\vs4\al(知识点3　事件的积（交）) 1．给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B).事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B__________． 2．P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B). 　抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件Q＝“向上的点数是3或4”，M＝“向上的点数是1或3”，用集合表示M∩Q＝________． {3}　解析：因为事件Q＝{3，4}，M＝{1，3}， 所以M∩Q＝{3}． eq \a\vs4\al(知识点4　事件的互斥与对立) 1．给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B______，记作AB＝∅(或A∩B＝∅).任意两个基本事件都互斥的，∅与任意事件互斥． 2．互斥事件的概率加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则 P(A1＋A2＋…＋An)＝__________________________． 3．给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作 eq \o(A,\s\up16(－)) .如果B＝ eq \o(A,\s\up16(－)) ，则称A与B相互对立． 4．对立事件的概率公式：P(A)＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) )＝________． 1．思考辨析 (1)互斥的事件一定是对立事件．(　　) (2)事件A的对立事件 eq \o(A,\s\up16(－)) ，相当于集合A在全集U中的∁UA补集．(　　) 答案：(1) ×　(2)√ 2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　) A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．必然事件 D．不可能事件 B　解析：“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，故它们是互斥事件，又甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生．∴它们不是对立事件． eq \a\vs4\al(探究一　事件的关系与运算) 掷一枚骰子，观察朝上的面的点数．设事件A＝“出现1点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”． 求：(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件A与C，C与D，D与E之间各有什么关系？ (3)用集合的形式表示 eq \o(D,\s\up16(－)) ， eq \o(A,\s\up16(－)) C， eq \o(B,\s\up16(－)) ∪C， eq \o(D,\s\up16(－)) ＋ eq \o(E,\s\up16(－)) . 解：(1)因为掷一枚骰子，试验的结果为1，2，3，4，5，6，所以试验的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{1}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}，D＝{3，4，5，6}，E＝{3，6}． (2)因为A⊆C，所以事件C包含事件A；因为C∩D＝∅，C∪D＝Ω，所以事件C与事件D互为对立事件；因为D⊇E，所以事件D包含事件E. (3) eq \o(D,\s\up16(－)) ＝{1，2}， eq \o(A,\s\up16(－)) C＝{2}， eq \o(B,\s\up16(－)) ∪C＝{1，2，3，5}，D∩E＝{3，6}， eq \o(D,\s\up16(－)) ＋ eq \o(E,\s\up16(－)) ＝{1，2，4，5}． 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是写出试验的样本空间及各事件的集合表示，利用集合间的运算判断事件间的运算，必要时可利用Venn图判断． [训练1]　盒子里有6个红球，3个白球，现从中任取三个球，设事件A＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”． 问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 解：(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球2个白球”，或“2个红球1个白球”，故D＝A∪B. (2)对于事件C，可能的结果为“1个红球2个白球”，“2个红球1个白球”，“3个红球”，故C∩A＝A. eq \a\vs4\al(探究二　互斥事件与对立事件的判断) 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“至少订一种报纸”，事件C＝“至多订一种报纸”，事件D＝“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)A与D. 解：方法一　(概念法) (1)由于事件C＝“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B＝“至少订一种报纸”与事件D＝“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与D是互斥事件；由于事件B发生会导致事件D一定不发生，且事件D发生会导致事件B一定不发生，故B与D是对立事件． (3)事件B＝“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”．事件C＝“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (4)事件A＝“只订甲报”与事件D＝“一种报纸也不订”不可能同时发生，故A与D是互斥事件．但在一次试验中，事件A与事件D有可能都不发生，故A与D不是对立事件．所以A与D是互斥事件，但不是对立事件． 方法二　(集合法)用x1，x2分别表示甲、乙两种报纸的订阅情况，以1表示订阅报纸，0表示不订阅报纸，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}． A＝{(1，0)}，B＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)}， C＝{(1，0)，(0，1)，(0，0)}，D＝{(0，0)}． (1)因为A∩C＝{(1，0)}，所以A与C不是互斥事件． (2)因为B∩D＝∅，B∪D＝Ω，所以B与D是对立事件． (3)因为B∩C＝{(1，0)，(0，1)}，所以B与C不是互斥事件． (4)因为A∩D＝∅，A∪D≠Ω，所以A与D是互斥事件，但不是对立事件． 互斥事件与对立事件的判断方法 (1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点：设事件A、B所包含的样本点组成的集合表示分别是A、B. ①事件A与B互斥，即A∩B＝∅； ②事件A与B对立，即A∩B＝∅，且A∪B＝Ω(Ω为样本空间)，也即A＝∁ΩB或B＝∁ΩA eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练2]　从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 解：(1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件． (2)不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件． (3)是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件． eq \a\vs4\al(探究三　事件的混合运算) 向指定的目标射三发子弹，若Ai＝“第i发子弹击中目标”(i＝1，2，3)，试用A1，A2，A3表示下列事件： (1)只击中第一发；(2)只击中一发；(3)三发都没有击中；(4)至少击中一发 ；(5)最多击中一发． 解：(1)A1 eq \o(A,\s\up16(－)) 2 eq \o(A,\s\up16(－)) 3　(2)A1 eq \o(A,\s\up16(－)) 2 eq \o(A,\s\up16(－)) 3＋ eq \x\to(A) 1A2 eq \x\to(A) 3＋ eq \o(A,\s\up16(－)) 1 eq \o(A,\s\up16(－)) 2A3　 (3) eq \o(A,\s\up16(－)) 1 eq \o(A,\s\up16(－)) 2 eq \o(A,\s\up16(－)) 3　(4)A1＋A2＋A3　 (5)A1 eq \o(A,\s\up16(－)) 2 eq \o(A,\s\up16(－)) 3＋ eq \o(A,\s\up16(－)) 1A2 eq \o(A,\s\up16(－)) 3＋ eq \o(A,\s\up16(－)) 1 eq \o(A,\s\up16(－)) 2A3＋ eq \o(A,\s\up16(－)) 1 eq \o(A,\s\up16(－)) 2 eq \o(A,\s\up16(－)) 3 事件的混合运算的方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验的所有样本点，分析并利用这些样本点进行事件间的运算． (2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有样本点，把这些样本点在图中列出，进行运算 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练3]　掷一枚骰子，下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}． 求：(1)A∩B，BC； (2)A∪B，B＋C； (3)记 eq \o(H,\s\up16(－)) 是事件H的对立事件，求 eq \o(D,\s\up16(－)) ， eq \o(A,\s\up16(－)) C， eq \o(B,\s\up16(－)) ∪C， eq \o(D,\s\up16(－)) ＋ eq \o(E,\s\up16(－)) . 解：(1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}． (2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}． (3) eq \o(D,\s\up16(－)) ＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}， eq \o(A,\s\up16(－)) C＝BC＝{出现2点}， eq \o(B,\s\up16(－)) ∪C＝A∪C＝{出现1，2，3或5点}， eq \o(D,\s\up16(－)) ＋ eq \o(E,\s\up16(－)) ＝{出现1，2，4或5点}． eq \a\vs4\al(探究四　互斥事件、对立事件的概率计算) 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？ 解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥， 所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8， 所以他不乘轮船去的概率为0.8. (3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5， 故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和． 2．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练4]　据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示： 等候 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.05 0.14 0.35 0.30 0.10 0.06 求：(1)等候人数不超过1的概率； (2)等候人数大于等于4的概率． 解：设A、B、C、D分别表示等候人数为0、1、4、大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥． (1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则E＝A∪B，故P(E)＝P(A)＋P(B)＝0.05＋0.14＝0.19，即等候人数不超过1的概率为0.19. (2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则F＝C∪D.故P(F)＝P(C)＋P(D)＝0.10＋0.06＝0.16，即等候人数大于等于4的概率为0.16. 1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　) A．A⊆B B．A∩B＝{出现的点数为2} C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 答案：B 2．袋内红、白、黑球分别为3个，2个，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个白球；红、黑球各1个 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；都是白球 答案：A 3．打靶3次，事件Ai表示“击中i次”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示__________________． 答案：至少有一次击中 4．一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8环的概率． 解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13. (1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87. (3)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件， 则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29. 所以射中环数小于8环的概率为0.29. $$